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2012年中考数学函数问题压轴题解析整理汇集

35. (2012吉林长春10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线 分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上.

(1)求点C、D的纵坐标.

(2)求a、c的值.

(3)若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长.

(4)若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d(d>0)，点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.

(参考公式：二次函数 图像的顶点坐标为 )

【答案】解：(1)∵点C在直线AB：y=-2x+42上，且C点的横坐标为16，

∴y=-2×16+42=10，即点C的纵坐标为10。

∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，∴点D的纵坐标为4。

(2)由(1)知点C的坐标为(16，10)，点D的坐标为(4，4)，

∵抛物线 经过C、D两点，

∴ ，解得： 。∴抛物线的解析式为 。

(3)∵P为线段OB上一点，纵坐标为5，∴P点的横坐标也为5。

∵点Q在抛物线上，纵坐标为5，∴ ，解得 。

当点Q的坐标为( ，5)，点P的坐标为(5，5)，线段PQ的长为 ;

当点Q的坐标为( ，5)，点P的坐标为(5，5)，线段PQ的长为 。

所以线段PQ的长为 或 。

(4)当0≤m<4或12≤m<16时，d随m的增大而减小。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质。

【分析】(1)点C在直线AB：y=-2x+42上，将C点的横坐标，代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，将D点的横坐标，代入解析式即可求出D点的纵坐标。

(2)抛物线 经过C、D两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可。

(3)根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标即可，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。

(4)根据PQ⊥x轴，可知P和Q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标，①当Q是线段OB上的一点时，结合图形写出m的范围，②当Q是线段AB上的一点时，结合图形写出m的范围即可：

根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，

∵抛物线y= ，∴顶点坐标为(8，2)。

联立 ，解得点B的坐标为(14，14)。

①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m<4或

12≤m≤14时，d随m的增大而减小;

②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m<16时，d随m的增大而减小。

综上所述，当0≤m<4或12≤m<16时，d随m的增大而减小。

36. (2012湖北荆州12分)已知：y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.

(1)求k的取值范围;

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.

①求k的值;②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值.

【答案】解：(1)当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。

当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.

△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0，解得k≤2.即k≤2且k≠1。

综上所述，k的取值范围是k≤2。

(2)①∵x1≠x2，由(1)知k<2且k≠1。

由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1(*)，

将(*)代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2。

又∵x1+x2= ，x1x2= ，∴2k• =4• ，

解得：k1=﹣1，k2=2(不合题意，舍去)。∴所求k值为﹣1。

②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣ )2+ ，且﹣1≤x≤1，

由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3;当x= 时，y最大= 。

∴y的最大值为 ，最小值为﹣3。

【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。

【分析】(1)分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点;当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。

(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。

37. (2012湖北随州12分)一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地, 两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AB所示;慢车离乙地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段OC所示。根据图象进行以下研究。

解读信息：

(1)甲、乙两地之间的距离为 km;

(2)线段AB的解析式为 ; 线段OC的解析式为 ;

问题解决：

(3)设快、慢车之间的距离为y(km)，求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式，并画出函数的图象。

【答案】解：(1)450。

(2)y1=450-150x(0≤x≤3);y2=75x(0≤x≤6)。

(3)根据(2)得出：

。

由函数解析式y=450-225x(0≤x<2)，当x=0，y=450;

由函数解析式y=225x-450(2≤x<3)，当x=2，y=0;

由函数解析式y=75x(3≤x≤6)，当x=3，y=225，x=6，y=450。

根据各端点，画出图象，其图象为折线图AE-EF-FC：

【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)利用A点坐标为(0，450)，可以得出甲，乙两地之间的距离。

(2)利用A点坐标(0，450)，B点坐标(3，0)，用待定系数法求出线段AB的解析式;利用C点坐标(6，450)，用待定系数法求出线段AB的解析式：

设线段AB的解析式为：y1=kx+b，根据A点坐标(0，450)，B点坐标(3，0)，

得出： ，解得： 。∴线段AB的解析式为：y1=450-150x(0≤x≤3)。

设线段OC的解析式为：y2=ax，将(6，450)代入得a=75。

∴线段OC的解析式为 y2=75x (0≤x≤6)。

(3)利用(2)中所求得出， ，从而求出函数解析式，得出图象即可。

38. (2012湖北孝感12分))如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)、B(3，0)，与y

轴交于点C(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此

时点P的坐标;

(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为

时，四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程).

【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1，0)、B(3，0)，

∴可设抛物线的解析式为 。

又∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与y轴交于点C(0，3)，

∴ ，解得 。

∴抛物线的解析式为 。即 。

又∵ ，∴抛物线顶点D的坐标为(1，4)。

(2)设直线BD的解析式为 ，

由B(3，0)，D(1，4)得 ，解得 。

∴直线BD的解析式为 。

∵点P在直线PD上，∴设P(p， )。

则OA=1，OC=3，OM= p，PM= 。

∴ 。

∵ ，∴当 时，四边形PMAC的面积取得最大值为 ，此时点P的坐

标为( )。

(3)(2，3);( )。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性质勾股定理，解一元二次方程。

【分析】(1)将抛物线的解析式设为交点式，可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式，将其化为顶点式即可求得顶点D的坐标。

(2)求出直线BD的解析式，设定点P的坐标，由 列式，根据二

次函数最值原理，即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标。

(3)①如图，四边形PQAC是平行四边形时，

∵CP∥x轴，点P在抛物线上，

∴点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。

∵C(0，3)，∴P(2，3)。

②如图，四边形PQAC是等腰梯形时，

设P(m， )，

过点P作PH⊥x轴于点H，则H(m，0)。

易得△ACO∽△QNP，∴ 。

∵OA=1，OC=3，HP= ，∴ ，即 。

∴AQ=AO+OH-QH= 。∴ 。

又由勾股定理得， 。

由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，

∴ ，整理得 ，解得 或 。

当 时，由①知CP∥AQ，四边形PQAC是平行四边形，不符合条件，舍去。

当 时，CP与AQ不平行，符合条件。∴P( )。

39. (2012江苏镇江9分)对于二次函数 和一次函数 ，把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A(2，0)和抛物线E上的点B(-1，n)，请完成下列任务：

【尝试】

(1)当t=2时，抛物线 的顶点坐标为 ▲ 。

(2)判断点A是否在抛物线E上;

(3)求n的值。

【发现】通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 ▲ 。

【应用1】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”吗?如果是，求出t的值;如果不是，说明理由;

【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。

【答案】解：【尝试】(1)(1，-2)。

(2)点A在抛物线E上，理由如下：

将x=2代入 得y=0。

∴点A在抛物线E上。

(3)将(-1，n)代入 得

。

【发现】A(2，0)和B(-1，6)。

【应用1】不是。

∵将x=-1代入 ，得 ，

∴二次函数 的图象不经过点B。

∴二次函数 不是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”。

【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，

则 ，即 ，得 。

∴C1(0， )。

易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= 。∴D1(3， )。

易得△OAD2∽GAD1，则 ，

由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1。∴D2(0，-1)。

易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2(-3，5)。

∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。

当抛物线经过A、B、C1时，将C1(0， )代入 得 ;

当抛物线经过A、B、D1时，将D1(3， )代入 得 ;

当抛物线经过A、B、C2时，将C2(-3，5)代入 得 ;

当抛物线经过A、B、D2时，将D2(0，-1)代入 得 。

∴满足条件的所有t值为 ， ， ， 。

【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。

【分析】【尝试】(1)当t=2时，抛物线为 ，∴抛物线的顶点坐标为(1，-2)。

(2)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。

(3)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将(-1，n)代入函数关系式 即可求得n的值。

【发现】由(1)可得。

【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。

【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。

40. (2012四川泸州11分)如图，二次函数 的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。

(1)当 时，求tan∠ADH的值;

(2)当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围;

(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。

【答案】解：(1))当 时， 。∴D 。∴DH= 。

在 中令 ，即 ，解得 。

∴A(-1，0)。∴AH= 。∴tan∠ADH= 。

(2)∵ ，∴D 。

∴DH= 。

在 中令 ，即 ，解得 。

∵顶点D在第一象限，∴ 。∴

∴A(-1，0)。∴AH= 。

当∠ADB=600时，∠ADH=300，tan∠ADH= 。

∴ ，解得 (增根，舍去)。

当∠ADB=900时，∠ADH=450，AH=DH，即 ，

解得 (不符合 ，舍去)。

∴当60°≤∠ADB≤90°时， 。

(3)设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，

设过点B( ，0)，C(0， )的直线为 ，则

，解得 。

∴直线BC为 。

当 时， 。

∴M(m， )。∴DM= ，AB= 。

∵S△BCD= DM•OB，S△ABC= AB•OC，S△BCD=S△ABC，

∴ 。

又∵顶点D在第一象限，∴ ，解得 。

当 时 ，A(-1，0)，B(5，0)，C(0， )。

∴BC= ，S△ABC= 。

设点D到BC的距离为d，∵S△DBC= ，

∴ ，解得 。

答：点D到直线BC的距离为 。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，锐角三角函数定义，点到直线的距离，解二元一次方程组和一元二次方程。

【分析】(1)求出顶点D和A的坐标，根据锐角三角函数定义即可求出tan∠ADH的值。

(2)求出∠ADB=600和∠ADB=900时的m的值即可得出m的变化范围。

(3)设点D到BC的距离为d，根据S△DBC= 和S△BCD=S△ABC，求出BC和S△ABC即可求得点D到直线BC的距离d。