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三角形2012年四川中考数学题(含答案和解释)

专题9：三角形

选择题

1. (2012四川乐山3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为【 】

A. 　　B. 　　C. 　　D.1

【答案】C。

【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA= 。

∴∠A=30°。∴∠B=60°。∴sinB= 。故选C。

2. (2012四川乐山3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合)，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形;

②四边形CEDF不可能为正方形;

③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;

④点C到线段EF的最大距离为 .

其中正确结论的个数是【 】

A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

【答案】B。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。

【分析】①连接CD(如图1)。

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)。

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。

∴△DFE是等腰直角三角形。

故此结论正确。

②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于 BC。

∴四边形CEDF是平行四边形。

又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。

又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。

故此结论错误。

③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，

由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。

由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。

∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。

∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。

故此结论错误。

④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE= EF。

当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2 。此时点C到线段EF的最大距离为 。

故此结论正确。

故正确的有2个：①④。故选B。

3. (2012四川攀枝花3分)如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC.DE交于点O.则下列四个结论中，①∠1=∠2;②BC=DE;③△ABD∽△ACE;④A、O、C、E四点在同一个圆上，

一定成立的有【 】

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4. (2012四川广安3分)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是【 】

A.100m B.100 m C.150m D.50 m

【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1： ，∴ ，

∵BC=50，∴AC=50 ，∴ (m)。故选A。

5. (2012四川广安3分)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC底角的度数为【 】

A.45° B.75° C.45°或75° D.60°

【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案：

如图1：AB=AC，

∵AD⊥BC，∴BD=CD= BC，∠ADB=90°。

∵AD= BC，∴AD=BD。 ∴∠B=45°。

即此时△ABC底角的度数为45°。

如图2，AC=BC，

∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°。

∵AD= BC，∴AD= AC，∴∠C=30°。∴∠CAB=∠B=(1800-∠A)÷2=75°。

即此时△ABC底角的度数为75°。

综上所述，△ABC底角的度数为45°或75°。故选C。

6. (2012四川内江3分)如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则 的值为【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】网格问题，锐角三角函数的定义，勾股定理。

【分析】如图：作点C关于AB的对称点D，连接CD交AB于O，

根据网格的特点，CD⊥AB，

在Rt△AOC中， ，

则 。故选B。

7. (2012四川德阳3分)某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP=【 】

A. B.2 C. D.

【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，

∴PA=20。

∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，

∴∠APB=90° ，BP=60× =40。

∴tan∠ABP= 。故选A。

8. (2012四川绵阳3分)已知△ABC中，∠C=90°，tanA= ，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【 】。

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，作DE⊥AB于点E。

∵∠CBD=∠A，∴ 。

设CD=a，则BC=2a，AC=4a，AD=AC-CD=3a，

在Rt△BCD中， 。

在Rt△ABC中， 。

在Rt△ADE中，设DE=x，则AE=2x，

∵AE2+DE2=AD2，即x2+(2x)2=9a2，解得：x= ，即DE= 。

在Rt△BDE中， 。故选A。

9. (2012四川巴中3分)如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件

是【 】

A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=AC D. ∠B=45°

【答案】A。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。

而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。故选A。

二、填空题

1. (2012四川广元3分) 已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 ▲

【答案】50°，50°或80°，20°。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】分情况讨论：

(1)若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=(180°-80°)÷2=50°;

(2)若等腰三角形的底角为80°时，顶角为180°-80°-80°=20°。

∴等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是50°，50°或80°，20°。

2. (2012四川德阳3分)如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE=5，则BC= ▲ .

【答案】10。

【考点】三角形中位线定理。

【分析】∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE= BC，

∵DE=5，∴BC=10。

3. (2012四川绵阳4分)如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为

▲ (答案不唯一，只需填一个)。

【答案】AC=DC(答案不唯一)。

【考点】开放型，全等三角形的判定

【分析】由∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，又BC=EC，

∴根据SAS可添加的条件为AC=DC;根据ASA可添加的条件为∠B=∠E;根据AAS可添加的条件为∠A=∠D。只需填一个即可。

4. (2012四川巴中3分)已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为 ▲

【答案】5cm。

【考点】正多边形和圆，正三角形的判定和性质。

【分析】如图，连接OA，OB，

∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB= ×360°=60°。

又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形。

∴AB=OA=OB=5cm，即它的内接六边形的边长为：5cm。

5. (2012四川资阳3分)直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ▲ .

【答案】8或10。

【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。

【分析】由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为 8;

②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= ，因此这个三角形的外接圆半径为10。

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10。

6. (2012四川自贡4分)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD.弧DE、弧EF的圆心依次是A.B.C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 ▲ .

【答案】4π。

【考点】新定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，弧长的计算。

【分析】弧CD是以点A为圆心，AB=1为半径，∠CAD=1200为圆心角的圆弧，长是 ;

弧DE是以点B为圆心，BD=2为半径，∠DBE=1200为圆心角的圆弧，长是： ;

弧EF是以点C为圆心，CE=3为半径，∠ECF=1200为圆心角的圆弧，长是： 。

则曲线CDEF的长是： 。

7. (2012四川南充3分)如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 ▲ cm.

【答案】4 。

【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。

【分析】如图，将△ADC旋转至△ABE处，则△AEC的面积和四边形ABCD的面积一样多为24cm2，,这时三角形△AEC为等腰直角三角形，作边EC上的高AF，则AF= EC=FC,

∴ S△AEC= AF•EC=AF2=24 。∴AF2=24。

∴AC2=2AF2=48 AC=4 。

三、解答题

1. (2012四川成都8分)如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米， )

【答案】解：∵BD=CE=6m，∠AEC=60°，

∴AC=CE•tan60°=6× =6 ≈6×1.732≈10.4(米)，

∴AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9(米)。

答：旗杆AB的高度是11.9米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据锐角三角函数的定义求出AC的长，再根据AB=AC+DE即可得出结论。

2. (2012四川乐山10分)如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距 千米的A处;经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处.

(1)求该轮船航行的速度;

(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.(参考数据： ， )

【答案】解：(1)过点A作AC⊥OB于点C。由题意，得

OA= 千米，OB=20千米，∠AOC=30°。

∴ (千米)。

∵在Rt△AOC中

OC=OA•cos∠AOC= (千米)，

∴BC=OC﹣OB=30﹣20=10(千米)。

∴在Rt△ABC中， (千米)。

∴轮船航行的速度为： (千米/时)。

(2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸。理由是：

延长AB交l于点D。

∵AB=OB=20(千米)，∠AOC=30°，

∴∠OAB=∠AOC=30°，∴∠OBD=∠OAB+∠AOC=60°.

∴在Rt△BOD中，OD=OB•tan∠OBD=20×tan60°= (千米)。

∵OD= =ON，

∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1))过点A作AC⊥OB于点C.可知△ABC为直角三角形.根据锐角三角函数定义和勾股定理解答。

(2)延长AB交l于D，比较OD与ON的大小即可得出结论。

3. (2012四川攀枝花6分)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近?(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值.)

【答案】解：作CD⊥AB于D.

∵A地观测到渔船C在东北方向上，渔船C在北偏东30°方向上，

∴∠CAB=45°，∠CBD=60°。

在Rt△BCD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=60°，∴CD= BD。

在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD。

∴ BD=AB+BD。

∵渔政310船匀速航行，∴设渔政310船航速为v千米/分钟，则AB=30v千米。

设渔政310船再航行t分钟，离我渔船C的距离最近，则BD= vt千米。

∴ vt=30v +vt，解得t=15( +1)。

答：渔政310船再航行15( +1)分钟，离我渔船C的距离最近。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过点C作AB的垂线，设垂足为D.由题易知∠CAB=45°，∠CBD=60°.先在Rt△BCD中，得到CD= BD，再在Rt△ACD中，得到CD=AD，据此得出 BD=AB+BD，从而求出渔船行驶BD的路程所需的时间。

4. (2012四川攀枝花12分)如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB.AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x.

(1)当x= EF时，求S△DPE：S△DBC的值;

(2)当CQ= CE时，求y与x之间的函数关系式;

(3)①当CQ= CE时，求y与x之间的函数关系式;

②当CQ= CE(n为不小于2的常数)时，直接写出y与x之间的函数关系式.

【答案】解：(1)∵E、F分别是AB.AC的中点，x= EF，

∴EF∥BC，且EF= BC。∴△EDP∽△CDB。∴ 。

∴S△DPE：S△DBC=1：36。

(2)如图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c。

不妨设EQ=kCQ=ka(k>0)，

则DQ=ka﹣b，CD=(k+1)a﹣b。

过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N。

∵BQ平分∠CBP，∴QM=QN.

∴ 。

又∵ ，∴ ，即 ①。

∵EP∥BC，∴ ，即 。

由①②③式联立解得：y=6k﹣x ④。

当CQ= CE时，k=1，∴y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x。

(3)当CQ= CE时，k=2，由(2)中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12﹣x。

当CQ= CE(n为不小于2的常数)时，k=n﹣1，由(2)中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6(n﹣1)﹣x。

【考点】相似三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，建立函数关系式。。

【分析】(1)根据中位线定理、相似三角形的判定和性质可以求得S△DPE：S△DBC的值。

(2)(3)问的解答，采用一般到特殊的方法.解答中首先给出了一般性结论的证明，即当EQ=kCQ(k>0)时，y与x满足的函数关系式为：y=6k﹣x;然后将该关系式应用到第(2)(3)问中求解.在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系.另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论((2)中①式子)，该结论在解题过程中发挥了重要作用。

5. (2012四川宜宾6分)如图，点A.B.D.E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F.求证：AC=EF.

【答案】证明：∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED。

又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB 。∴∠ABC=∠EDF 。

又∵∠C=∠F，∴△ABC≌△EDF(AAS)。∴AC=EF。

【考点】平行的性质，补角的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=CD，利用AAS证明两三角形全等即可。

6. (2012四川广安8分)如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到?( ≈1.41， ≈1.73， =2.45).

7. (2012四川内江9分)水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.[如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=600，背水坡面CD的长为 米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米。

(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米?

(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度。

【答案】解：(1)如图，分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G。

在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，

，

∴ ，即DG= 。

又∵CE=8，∴ 。

又∵需加固的大坝长为150，∴需要填方： 。

答：需要填土石方 立方米。

(2)在Rt△DGC中，DC= ，DG= ，

∴ 。∴GE=GC+CE=32。

∴DE的坡度 。

答：加固后的大坝背水坡面DE的坡度为 。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】(1)分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G.在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长;以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积。

(2)在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长;Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比。

8. (2012四川内江12分)已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，使∠DAF=60°，连接CF.

(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF;②AC=CF+CD;

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立?若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由;

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系

【答案】解：(1)证明：∵四边形AFED是菱形，∴AF=AD。

∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。

∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF ，

∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴CF=BD。

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。

即①BD=CF，②AC=CF+CD。 (2)AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD。理由如下：

由(1)知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AC=AB，∠BAD=∠CAF ，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴BD=CF。

∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，即AC=CF-CD。

(1)补全图形如下，AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CD-CF。

【考点】等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质

【分析】(1)根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，由SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。

(2)求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可。

(3)画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中， AB=AC，∠DAB=∠CAF， AD=AF，

∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴CF=BD。∴CD-CF=CD-BD=BC=AC。

9. (2012四川广元7分)如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有

如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。

(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题

书写形式：“如果 ， ，那么 ”);

(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由。

【答案】解：(1)命题1：如果①，②，那么③; 命题2：如果①，③，那么②。

(2)命题1的证明：

∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D。

∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB。

在△AEC和△DFB中，

∵∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB， ∴△AEC≌△DFB(AAS)。

∴CE=BF③(全等三角形对应边相等)。

【考点】全等三角形的判定和性质，平行的性质，真假命题。

【分析】(1)如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题;如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可。

(2)若选择(1)中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证。

若选择如果①③，那么②，证明如下：

∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D。

∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB，

在△AEC和△DFB中，∵∠E=∠F，∠A=∠D，③CE=BF ， ∴△AEC≌△DFB(AAS)。

∴AC=DB(全等三角形对应边相等)，则AC-BC=DB-BC，即AB=CD②。

注：命题“如果②，③，那么①”是假命题。

10. (2012四川广元8分)如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等

级公路(即线段AB)。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°

方向上。已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等

级公路会不会穿越保护区?为什么?

【答案】解：作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，

根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，

则在Rt△PAE和Rt△PBE中，

， BE=PE，

而AE+BE=AB， 即 ， ∴PE= ，

∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，

∴公路不会穿越保护区。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过点P作PE⊥AB，E是垂足.AE与BE都可以根据三角函数用PE表示出来.根据AB的长，

得到一个关于PE的方程，解出PE的长.从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区。

11. (2012四川凉山8分)某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：

小明：我站在此处看树顶仰角为 。

小华：我站在此处看树顶仰角为 。

小明：我们的身高都是1.6m.

小华：我们相距20m。

请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度。

(参考数据： ， ，结果保留三个有效数字)

【答案】解：如图所示，延长BC交DA于E。设AE的长为x m，

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∠AEB=90°，

∴∠CAE=45°， AE=CE=x。

在Rt△ABE中，∠B=30°，AE=x，

∴ ，即： 。

∵BE-CE=BC，BC=20， ∴ ，解得x=10 +10。

∴AD=AE+DE=10 +10+1.6≈28.9(m)。

答：这棵汉柏树的高度约为28.9米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长BC交DA于E.设AE的长为x米，在Rt△ACE中，求得CE=AE，然后在Rt△ABE中求得BE，利用BE-CE=BC，解得AE，则AD=AE+DE。

12. (2012四川巴中10分)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，

∠E=30°，∠A=45°，AC= ，试求CD的长。

【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC= ，

∴BC=AC= ，∠ABC=45°。

∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=45°。

∴BM=BC×sin45°= ，CM=BC=12。

在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，∴∠EDF=60°。

∴MD=BM÷tan60°= 。∴CD=CM-MD=12- 。

【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，

进而可得出答案。

13. (2012四川资阳8分)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示).

【答案】解：连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M，延长BC，交PM于点N。

则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米。

设PM=x米

在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x，

在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=(x-10)tan60°= (x-10)，

由AM+BN=46米，得x + ( x-10)=46，

解得， 。

∴点P到AD的距离为 米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M;延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可。

14. (2012四川自贡10分)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长?(参考数据： ≈1.73，结果保留两位有效数字)

【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE、Rt△CDH和矩形BEHG。

∵ ，

∴设BE=4k，AE=3 k，由勾股定理得

BE2+AE2=AB2，解得BE=8，AE=6。

∵DG=1.5，BG=1，

∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7。

在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°= ，∴CH= 。

又∵CH=CA+7，即 =CA+7。

∴CA= -7≈9.45≈9.5(米)。

答：CA的长约是9.5米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】作辅助线，构造Rt△ABE、Rt△CDH和矩形BEHG， 解Rt△ABE和Rt△CDH即可。

15. (2012四川泸州5分)如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。

求证：AE∥BC

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