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2012年山东中考数学函数的图像与性质试题解析

一、选择题

1. (2012山东滨州3分)直线 不经过【 】

A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】∵ ，∴

∴ 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选B。

2. 2012山东滨州3分)抛物线 与坐标轴的交点个数是【 】

A.3　　B.2　　C.1　　D.0

【答案】A。

【考点】抛物线与 轴的交点，解一元一次、二次方程。

【分析】∵抛物线解析式 ，

令 ，解得： ，∴抛物线与 轴的交点为(0，4)，

令 ，得到 ，

∴抛物线与 轴的交点分别为( ，0)，(1，0)。

综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3。故选A。

3. (2012山东德州3分)如图，两个反比例函数 和 的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】

A.3 B.4 C. D.5

4. (2012山东东营3分)如图，一次函数 的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE.有下列四个结论：

①△CEF与△DEF的面积相等;②△AOB∽△FOE;③△DCE≌△CDF;④AC=BD.

其中正确的结论是【 】

A.①② B. ①②③ C.①②③④ D. ②③④

【答案】C。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵一次函数 的图象与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(0，-3)，B(3，0)。

联立 和 可得C(-4，-1)，D(1，4)，∴E(0，-1)，F(1，0)。

∴OA=OB=3，OE=OF=1，即△ABO和△EFO都是等腰直角三角形。∴∠BAO=∠EFO=450。∴AB∥EF。

∴△CEF与△DEF是同底等高的三角形。∴△CEF与△DEF的面积相等。所以结论①正确。

又由AB∥EF，得△AOB∽△FOE。所以结论②正确。

由各点坐标，得CE=4，DF=4，CF= ，DE= ，∴CE=DF，CF=DE。

又∵CD=DC，∴△DCE≌△CDF(SSS)。所以结论③正确。

由AF=CE=4和AF∥CE得，四边形ACEF是平行四边形。∴AC=FE。

由BE=DF=4和BE∥DF得，四边形DBEF是平行四边形。∴BD=EF。

∴AC=BD。所以结论④正确。因此，正确的结论是①②③④。故选C。

5. (2012山东菏泽3分)反比例函数 的两个点为 、 ，且 ，则下式关系成立的是【 】

A. 　　B. 　　C. 　　D.不能确定

【答案】D。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵反比例函数 中， =2>0，

∴函数的图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量的增加而减小。

∴当 时，①若两点在同一象限内，则 ;②若两点不在同一象限内， 。

故选D。

6. (2012山东菏泽3分)已知二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】

A. B. C. 　D

【答案】C。

【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。

【分析】∵由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，∴ <0，

∵由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为 ，∴由 <0得 <0。

∵由二次函数的图象知：二次函数图象经过坐标原点，∴ 。

∴一次函数 过第二四象限且经过原点，反比例函数 位于第二四象限，

观察各选项，只有C选项符合。故选C。

7. (2012山东济南3分)一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为【 】

A.x=2 　　　　B.y=2 　　　　C.x=-1 　　　　D.y=-1

【答案】C。

【考点】一次函数与一元一次方程的关系。

【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可：

∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为(-1，0)，

∴当y=kx+b=0时，x=-1。故选C。

8. (2012山东济南3分)如图，二次函数的图象经过(-2，-1)，(1，1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】

A.y的最大值小于0 　　　　 B.当x=0时，y的值大于1

C.当x=-1时，y的值大于1　 D.当x=-3时，y的值小于0

9. (2012山东临沂3分)如图，若点M是 轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥ 轴，分别交函数 和 的图象于点P和Q，连接OP和OQ.则下列结论正确的是【 】

A.∠POQ不可能等于90°　　 B.

C.这两个函数的图象一定关于 轴对称　 　D.△POQ的面积是

【答案】D。

【考点】反比例函数综合题，直角三角形的判定，反比例函数的性质，反比例函数系数的几何意义。

【分析】根据反比例函数的性质逐一作出判断：

A.∵当PM=MO=MQ时，∠POQ=90°，故此选项错误;

B.根据反比例函数的性质，由图形可得： >0， <0，而PM，QM为线段一定为正值，故 ，故此选项错误;

C.根据 ， 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于 轴对称，故此选项错误;

D.∵| |=PM•MO，| |=MQ•MO，

∴△POQ的面积= MO•PQ= MO(PM+MQ)= MO•PM+ MO•MQ= 。

故此选项正确。

故选D。

10. (2012山东青岛3分)点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数 的图象上，且

x1

A.y3

【答案】A。

【考点】反比例函数的图象和性质。

【分析】作出反比例函数 的图象(如图)，即可作出判断：

∵-3<0，

∴反比例函数 的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x<0时，y>0;当x>0时，y<0。

∴当x1

11. (2012山东日照4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2-4ac>0;② 2a+b<0;③ 4a-2b+c=0;④ a︰b︰c= -1︰2︰3.其中正确的是【 】

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④

【答案】D。

【考点】二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，。

【分析】根据二次函数图象和性质分别作出判断：

∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴对应的一元二次方程ax2+bx+c 有两个不相等的实数根。

∴b2-4ac>0。选项①正确。

又∵对称轴为直线x=1，即 ，∴2a+b=0。选项②错误。

∵由图象知，x=-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c<0。选项③错误。

∵图象知，x=-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a+b+c=0。

联立2a+b=0和y=a+b+c=0可得：b=-2a，c=-3a。

∴a：b：c=a：(-2a)：(-3a)=-1：2：3。选项④正确。

综上所述，正确的选项有：①④。故选D。

12. (2012山东泰安3分)二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数根，则 的最大值为【 】

A. 　　B.3　　C. 　　D.9

【答案】B。

【考点】抛物线与 轴的交点。

【分析】∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，

∴ >0， ，即 。

∵一元二次方程 有实数根，

∴△= ，即 ，即 ，解得 。

∴ 的最大值为3。故选B。

13. (2012山东泰安3分)二次函数 的图象如图，则一次函数 的图象经过【 】

A.第一、二、三象限　B.第一、二、四象限　C.第二、三、四象限　D.第一、三、四象限

【答案】C。

【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。

【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣ >0， <0。∴ <0，

∴一次函数 的图象经过二、三、四象限。故选C。

14. (2012山东泰安3分)设A ，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为【 】

A. 　　B. 　　C. 　　D.

【答案】 A。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】∵函数的解析式是 ，如右图，

∴对称轴是 。

∴点A关于对称轴的点A′是 。，

那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边 随 的增大而减小，

∴于是 。故选A。

15. (2012山东威海3分)下列选项中，阴影部分面积最小的是【 】

【答案】C。

【考点】反比例函数的图象和性质。

【分析】根据反比例函数的图象和性质，A，B，D三个图形中阴影部分面积均为2。而C图形中阴影部分面积为 。故选C。

16. (2012山东威海3分)已知二次函数 的图象如图所示，下列结论错误的是【 】

A.abc>0 B.3a>2b C.m(am+b)≤a-b D.4a-2b+c<0

【答案】D。

【考点】二次函数的图象和性质，不等式的性质。

【分析】∵二次函数 的图象的开口向下，对称轴为x=-1，与y轴的交点在x轴上方，

∴a<0，c>0，且 ，即b=2a<0。

∴abc>0。结论A正确。

∵3a-2b=3a-4a=-a>0，∴3a>2b。结论B正确。

∵. ，

∴m(am+b)≤a-b。结论C正确。

从图象可知，当x=-2时，y>0，即4a-2b+c>0。结论D错误。

故选D。

17. (2012山东潍坊3分)若直线y=-2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是【 】.

A. -48 D.-4≤6≤8

【答案】A。

【考点】两条直线相交问题，解二元一次方程组，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组。

【分析】联立y=-2x-4和y=4x+b，求解得交点坐标，x和y的值都用b来表示，再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0，即可求得b的取值范围：

由 解得 。

∵交点在第三象限，∴ ，解得 。

∴-4

18. (2012山东烟台3分)已知二次函数y=2(x﹣3)2+1.下列说法：①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x<3时，y随x的增大而减小.则其中说法正确的有【 】

A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

【答案】A。

【考点】二次函数的性质。

【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：

①∵2>0，∴图象的开口向上，故本说法错误;

②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误;

③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误;

④当x<3时，y随x的增大而减小，故本说法正确。

综上所述，说法正确的有④共1个。故选A。

19. (2012山东枣庄3分)抛物线 经过点(2，4)，则代数式 的值为【 】

A.3 B.9 C. D.

【答案】C。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

【分析】∵抛物线 经过点(2，4)，∴ ，即 。

∴ 。故选C。

二、填空题

1. (2012山东滨州4分)下列函数：①y=2x﹣1;② ;③y=x2+8x﹣2;④ ;⑤ ;⑥ 中，y是x的反比例函数的有 ▲ (填序号)

【答案】②⑤。

【考点】反比例函数的定义。

【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：

①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数;② 是反比例函数;

③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数;④ 不是反比例函数;

⑤ 是反比例函数;⑥ 中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数。

故答案为：②⑤。

2. (2012山东济南3分)如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ▲ 秒.

【答案】36。

【考点】二次函数的应用

【分析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，

∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，

∴A，B关于对称轴对称。

则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒。

∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。

3. (2012山东济宁3分)如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于给出的下列说法：

①常数k的取值范围是k>2;

②另一个分支在第三象限;

③在函数图象上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1>a2时，则b1

④在函数图象的某一个分支上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1>a2时，则b1

其中正确的是　 ▲ 　(在横线上填出正确的序号)

【答案】①②④。

【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。

【分析】①根据函数图象在第一象限可得k﹣2>0，故k>2，故①正确;

②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确;

③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误;

④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A(a1，b1)和点B(a2，b2)，当a1>a2时，则b1

故正确的说法为：①②④。

4. (2012山东聊城3分)如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数 (k>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质。

【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P(3a，a)在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：

∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积。

设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6。

∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3。

∵点P(3a，a)在直线AB上，∴3a=3，解得a=1。∴P(3，1)。

∵点P在反比例函数 (k>0)的图象上，∴k=3×1=3。

∴此反比例函数的解析式为： 。

5. (2012山东日照4分)如图，点A在双曲线 上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA=4时，则△ABC周长为 ▲ .

【答案】 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质。

【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长。

设A(a，b)，则OC=a，AC=b。

∵点A在双曲线 上，∴ ，即ab=6。

∵OA=4，∴a2+b2=42，即(a+b)2-2ab=16，即(a+b)2-2×6=16，∴a+b= 。

∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB。

∴△ABC的周长=OC+AC= a+b= 。

6. (2012山东威海3分)如图，直线l1，l2交于点A。观察图象，点A的坐标可以看作方程组 ▲ 的解.

【答案】 。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】观察图象，知l1经过点A(1，1)和点(0，-1)，l2经过点A(1，1)和点(0，2)。

设l1的解析式为 ，将(1，1)和点(0，-1)代入得

，解得 。∴l1的解析式为 。

设l2的解析式为 ，将(1，1)和点(0，2)代入得

，解得 。∴l2的解析式为 。

∴点A的坐标可以看作方程组 的解。

7. (2012山东潍坊3分)点P在反比例函数 (k≠0)的图象上，点Q(2，4)与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为 ▲ .

【答案】 。

【考点】关于y轴对称的点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据轴对称的定义，利用点Q(2，4)，求出P点坐标，将P点坐标代入解析式，即可求出反比例函数解析式：

∵点Q(2，4)和点P关于y轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数

∴P点坐标为(-2，4)。

将(-2，4)解析式 得，k=xy=-2×4=-8。

∴函数解析式为 。

8. (2012山东枣庄4分)二次函数 的图象如图所示.当y<0时，自变量x的取值范围是

▲　　.

【答案】-1

【考点】二次函数与不等式(组)

【分析】根据二次函数的性质得出，y<0，即是图象在x轴下方部分，从而得出x的取值范围：

∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，

∴图象与x轴交在(-1，0)，(3，0)，

∴当y<0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1

三.解答题

1. (2012山东滨州10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣2，﹣4)，O(0，0)，B(2，0)三点.

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;

(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.

【答案】解：(1)把A(﹣2，﹣4)，O(0，0)，B(2，0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

，解这个方程组，得 。

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+x。

(2)由y=﹣ x2+x=﹣ (x﹣1)2+ ，可得

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。

∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。

过点A作AN⊥x轴于点N，

在Rt△ABN中， ，

因此OM+AM最小值为 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。

【分析】(1)已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。

(2)根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。

对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：

O M′+A M′= B M′+A M′>AB=OM+AM，

即OM+AM为最小值。

2. (2012山东德州10分)现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨;从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨.

(1)设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)

A x

B

(2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式

(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少?

【答案】解：(1)完成填表：

运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨)

A x 14﹣x

B 15﹣x x﹣1

(2)W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)，

整理得，W=5x+1275。

(3)∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，

∴ ，解不等式组，得：1≤x≤14。

在W=5x+1275中，W随x增大而增大，

∴当x最小为1时，W有最小值 1280元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】(1)根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。

(2)根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨;从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案。

(3)求出x的取值范围，利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可。

3. (2012山东东营11分)已知抛物线 经过A(2，0). 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.

(1)求b的值，求出点P、点B的坐标;

(2)如图，在直线 上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形?若存在，求出点D的坐

标;若不存在，请说明理由;

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB?如果存在，试举例验证你的猜想;如果不存在，试说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线 经过A(2，0)，

∴ ，解得 。

∴抛物线的解析式为 。

∵ ，

∴顶点P的坐标为(4， )。

令y=0，得 ，解得 。

∴点B的坐标是(6，0)。

(2)在直线 上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。理由如下：

设直线PB的解析式为 ，把B(6,0),P(4, )分别代入，得

， 解得 。

∴直线PB的解析式为 。

又∵直线OD的解析式为

∴直线PB∥OD。

设直线OP的解析式为 ，把P(4, )代入，得

，解得 。

如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形。

设直线BD的解析式为 ，将B(6,0)代入，得

，解得 。

∴直线BD的解析式为 。

联立方程组 ，解得 。

∴D点的坐标为(2, )。

(3)符合条件的点M存在。验证如下：

过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC= ，AC=2，

由勾股定理，可得AP=4，PB=4。

又∵AB=4，∴△APB是等边三角形。

作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM。

∵AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，∴△AMP≌△AMB.(SAS)。

因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB.。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定。

【分析】(1)由抛物线 经过A(2，0)，代入即可求出b的值;从而得出抛物线的解析式，化为顶点式即可求出顶点P的坐标;令y=0，即可求出点B的坐标。

(2)用待定系数法，求出直线PB、BD的解析式，联立 和 ，解之即得

点D的坐标。

(3)由勾股定理求出AP、BP和AB的长，证出△APB是等边三角形，即可作BP的中垂线AM交BP于点M，点M即为所求。

4. (2012山东菏泽7分)如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.求过B、C两点直线的解析式.

【答案】解：一次函数 中，令 得： ;令 ，解得 。

∴A的坐标是(0，2)，C的坐标是(3，0).

作CD⊥ 轴于点D。

∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°。

又∵∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠BAO。

又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°，∴△ABO≌△CAD(AAS)。

∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5。∴C的坐标是(5，3)。

设BC的解析式是 ，

根据题意得： ，解得： 。

∴BC的解析式是： 。

【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】作CD⊥x轴于点D，易证△ABO≌△CAD，即可求得AD，CD的长，则C的坐标即可求解;利用待定系数法即可求得直线BC的解析式。

5. (2012山东菏泽10分)牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查，得到如下数据：

销售单价 (元/件)

… 20 30 40 50 60 …

每天销售量 (件)

… 500 400 300 200 100 …

(1)把上表中 、 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 与 的函数关系，并求出函数关系式;

(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润=销售总价﹣成本总价)

(3)菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?

【答案】解：(1)画图如下：

由图可猜想 与 是一次函数关系，设这个一次函数为 ，

∵这个一次函数的图象经过(20，500)、(30，400)两点，

∴ ，解得 。

∴函数关系式是 。

经验证，其它各点也在 上。

(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：

，

∴当 时，W有最大值9000。

(3)对于函数 ，当 时，W的值随着 值的增大而增大，

∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。

【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值和增减性。

【分析】(1)利用表中 、 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再取任意两点用待定系数法得出 与 的函数关系式，求出即可。

(2)根据利润=销售总价-成本总价，由(1)中函数关系式得出 ，从而利用二次函数最值求法得出即可。

(3)利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案。

6. (2012山东济南9分)如图，已知双曲线 ，经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.

(1)求k的值;

(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式;

(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

【答案】解：(1)∵双曲线 经过点D(6，1)，∴ ，解得k=6。

(2)设点C到BD的距离为h，

∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD= ×6•h=12，解得h=4。

∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1-4= -3。

∴ ，解得x= -2。∴点C的坐标为(-2，-3)。

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则 ，解得 。

∴直线CD的解析式为 。

(3)AB∥CD。理由如下：

∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为(-2，-3)，点D的坐标为(6，1)，

∴点A、B的坐标分别为A(-2，0)，B(0，1)。

设直线AB的解析式为y=mx+n，

则 ，解得 。

∴直线AB的解析式为 。

∵AB、CD的解析式k都等于 相等。

∴AB与CD的位置关系是AB∥CD。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。

【分析】(1)把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。

(2)先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。

(3)根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线

CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。

7. (2012山东济南9分)如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3，0)，B(-1，0)，与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径;

(3)如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(-3，0)，B(-1，0)，

∴ ，解得 。∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3。 (2)由(1)知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，

∵令x=0，得y=3，∴C(0，3)。

∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形。

∴∠CAB=45°，∴cos∠CAB= 。

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC= 。

如图1所示，连接O1B、O1C，

由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°。

∴△BO1C为等腰直角三角形，

∴⊙O1的半径O1B= 。

(3)点N的坐标为( ， )或( ， )。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，圆及抛物线的对称性质，相似三角形的性质，勾股定理。

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2)如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值;由

圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度。

(3)如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，从而求出点M的坐标和线段

BM的长度;点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度;然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度;最后利用勾股定理，列出方程组，求出点N的坐标。

∵抛物线y=x2+4x+3=(x+2)2-1，

∴顶点P坐标为(-2，-1)，对称轴为x= -2。

又∵A(-3，0)，B(-1，0)，可知点A、B关于对称轴x=2对称。

如图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C(0，3)关于对称轴对称。

∴D(-4，3)。

又∵点M为BD中点，B(-1，0)，∴M( )。

∴BM= 。

在△BPC中，B(-1，0)，P(-2，-1)，C(0，3)，

由勾股定理得：BP= ，BC= ，PC= 。

∵△BMN∽△BPC，

∴ ，即 。

解得：BN= ，MN 。

设N(x，y)，由勾股定理可得：

，解得， ， 。

∴点N的坐标为( ， )或( ， )。

8. (2012山东济宁10分)如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4，0)、B(﹣2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)当动点P运动到何处时，BP2=BD•BC;

(3)当△PCD的面积最大时，求点P的坐标.

【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A(4，0)、B(﹣2，0)两点

∴ ，解得 。

∴抛物线的解析式为 。

(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2=BD•BC，

在 中，令x=0时，则y=﹣4，∴点C的坐标为(0，﹣4)。

∵PD∥AC，∴△BPD∽△BAC。∴ 。

∵ ，AB=6，BP=x﹣(﹣2)=x+2

∴ ，即 。

∵BP2=BD•BC，∴ ，解得x1= ，x2=﹣2(不合题意，舍去)。

∴点P的坐标是( ，0)。

∴当点P运动到( ，0)时，BP2=BD•BC。

(3)∵△BPD∽△BAC，∴

∴ ，

又∵ ，

∴ 。

∵ <0，∴当x=1时，S△BPC有最大值为3。

∴点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】(1)该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可。

(2)首先设出点P的坐标，由PD∥AC得到△BPD∽△BAC，通过比例线段可表示出BD的长;BC的长易得，根据题干给出的条件BP2=BD•BC即可求出点P的坐标。

(3)由于PD∥AC，根据相似三角形△BPD、△BAC的面积比，可表示出△BPD的面积;以BP为底，OC为高，易表示出△BPC的面积，△BPC、△BPD的面积差为△PDC的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点P的坐标。

9. (2012山东莱芜12分)如图，顶点坐标为(2，-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，

与x轴交于A、B两点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积;

(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使

得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在，求点E的坐标;若不存在，请说明理由.:

【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(2，-1)，

∴可设抛物线的表达式为 。

∵点C(0，3)在 上，∴ ，解得 。

∴抛物线的表达式为 ，即 。

(2)令 ，即 ，解得 。∴A(1，0)，B(3，0)。

设BC的解析式为 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得，

，解得 。∴BC的解析式为 。

当x=2时，y=-2+3=1，∴D(2，1)。

∴ 。

(3)存在。假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似。

∵△BCO是等腰直角三角形，∴以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。

∵由EF∥OC得∠DEF=450，

∴以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点。

①当点F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△BCO。

∴DF所在直线为y=1。

由 ，解得

将 代入 ，和 ，∴E( ， );

将 代入 ，和 ，∴E( ， )。

②当点D为直角顶点时，DF⊥ED，此时△EFD∽△BCO。

∵点D在对称轴上，∴DA=DB。

∵∠CBA=450，∴∠DAB=450，∴∠ADB=900。

∴AD⊥BC。∴点F在直线AD上。

设AD的解析式为 ，将A(1，0)，D(2，1)代入得，

，解得 。∴AD的解析式为 。

由 ，解得 或 。

将 代入 ，和 ，∴E(1，2);

将 代入 ，和 ，∴E(4，-1)。

综上所述，点E的坐标为( ， )或( ， )或(1，2)或(4，-1)。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)设抛物线的顶点式表达式，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。

(2)求出A、B、D点坐标，由 即可求得△ACD的面积。

(3)分点F为直角顶点和点D为直角顶点两种情况求解即可。

10. (2012山东聊城7分)如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，﹣2).

(1)求直线AB的解析式;

(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标.

【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵直线AB过点A(1，0)、点B(0，﹣2)，

∴ ，解得 。

∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。

(2)设点C的坐标为(x，y)，

∵S△BOC=2，∴ •2•x=2，解得x=2。

∴y=2×2﹣2=2。

∴点C的坐标是(2，2)。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(1，0)、点B(0，﹣2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。

(2)设点C的坐标为(x，y)，根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。

11. (2012山东聊城12分)某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)

(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;

(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润?当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?

(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?

【答案】解：(1)∵z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。

(2)由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，

解这个方程得x1=25，x2=43。

∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。

∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2(x﹣34)2+512，

∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。

(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知，

当25≤x≤43时，z≥350。

又由限价32元，得25≤x≤32。

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，

∴当x=32时，每月制造成本最低。

最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元)。

∴所求每月最低制造成本为648万元。

【考点】二次函数和一次函数的应用。

【分析】(1)根据每月的利润z=(x﹣18)y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式。

(2)把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得

z=﹣2(x﹣34)2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得的最大利润。

(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，求出最低成本。

12. (2012山东临沂10分)小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y(单位：千克)与上市时间x(单位：天)的函数关系如图1所示，樱桃价格z(单位：元/千克)与上市时间x(单位：天)的函数关系式如图2所示.

(1)观察图象，直接写出日销售量的最大值;

(2)求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式;

(3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多?

【答案】解：(1)由图象得：出日销售量的最大值为120千克。

(2)当0≤x≤12时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为y=k1x，

∵点(12，120)在y=kx的图象，∴k1=10。

∴函数解析式为y=10x。

当12

∵点(12，120)，(20，0)在y=k2x+b的图象上，

∴ ，解得 。

∴函数解析式为y=﹣15x+300，

∴小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式为：

。

(3)∵第10天和第12天在第5天和第15天之间，

∴当5

∵点(5，32)，(15，12)在z=kx+b的图象上，

∴ ，解得 。

∴函数解析式为z=﹣2x+42，

当x=10时，y=10×10=100，z=﹣2×10+42=22，销售金额为：100×22=2200(元)。

当x=12时，y=120，z=﹣2×12+42=18，销售金额为：120×18=2160(元)。

∵2200>2160，∴第10天的销售金额多。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)观察图象，即可求得日销售量的最大值。

(2)分别从0≤x≤12时与12

(3)第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5

13. (2012山东临沂13分)如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过点A.O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求点P的坐标;若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。

又∵OA=OB=4，

∴OC= OB= ×4=2，BC=OB•sin60°= 。

∴点B的坐标为(﹣2，﹣ )。

(2)∵抛物线过原点O和点A.B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A(4，0)，B(﹣2，﹣ )代入，得

，解得 。

∴此抛物线的解析式为 。

(3)存在。

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为(2，y)。

①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=± ，

当y= 时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD= ，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。

∴y= 不符合题意，舍去。

∴点P的坐标为(2，﹣ )。

②若OB=PB，则42+|y+ |2=42，解得y=﹣ 。

∴点P的坐标为(2，﹣ )。

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+ |2，解得y=﹣ 。

∴点P的坐标为(2，﹣ )。

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，﹣ )。

【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。

【分析】(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标。

(2)已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

(3)根据(2)的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。

14. (2012山东青岛10分)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行

销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元

/个)之间的对应关系如图所示.

(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式;

(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的

函数关系式;

(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出

最大利润.

【答案】解：(1)y是x的一次函数，设y=kx+b，

∵图象过点(10，300)，(12，240)，

∴ ，解得 。∴y=-30x+600。

当x=14时，y=180;当x=16时，y=120，

∴点(14，180)，(16，120)均在函数y=-30x+600图象上。

∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600。 (2)∵w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600，

∴w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600。

(3)由题意得：6(-30x+600)≤900，解得x≥15.

w=-30x2+780x-3600图象对称轴为： 。

∵a=-30<0，∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小。

∴当x=15时，w最大=1350。

∴以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元。

【考点】二次函数和一元一次不等式的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】(1)观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同。

(2)销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量。

(3)根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润。

15. (2012山东日照10分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为

(-3，0)，经过B点的直线交抛物线于点D(-2，-3).

(1)求抛物线的解析式和直线BD解析式;

(2)过x轴上点E(a，0)(E点在B点的右侧)作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形?如果存在，求出满足条件的a;如果不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)将A(-3，0)，D(-2，-3)的坐标代入y=x2+bx+c得，

，解得： 。

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3 。

由x2+2x-3=0，得：x1=-3，x2=1，∴B的坐标是(1，0)。

设直线BD的解析式为y=kx+b，则

，解得： 。

∴直线BD的解析式为y=x-1。

(2)∵直线BD的解析式是y=x-1，且EF∥BD,

∴直线EF的解析式为：y=x-a。

若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴。

∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3。

由 得y2+(2a+1)y+a2+2a-3=0，解得：y= 。

令 =-3，解得：a1=1，a2=3。

当a=1时，E点的坐标(1，0)，这与B点重合，舍去;

∴当a=3时，E点的坐标(3，0)，符合题意。

∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。

【分析】(1)把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式。

(2)得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=-3求得合适的a的值即可。

16. (2012山东泰安8分)如图，一次函数 的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象在第二象限的交点为C，CD⊥ 轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)直接写出当 时， 的解集.

【答案】解：(1)∵OB=2，△AOB的面积为1，∴B(﹣2，0)，OA=1，∴A(0，﹣1)。

∵A，B两点在 上，

∴ ，解得 。

∴一次函数的解析式为 。

又∵OD=4，OD⊥ 轴，∴C(﹣4， )，

将 代入 得 ，∴C(﹣4，1)。

∵C点在 上，∴ 解得 。

∴反比例函数的解析式为 。

(2)当 时， 的解集是 。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式.再求出C的坐标是(-4，1)，利用待定系数法求解即可求反比例函数的解析式。

(2)根据一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第二象限的交点为C，知 时， 的图象在 的图象上方，即 。所以当 时， 的解集是 。

17. (2012山东泰安12分)如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为(1，0).若抛物线 过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB?若存在，求出点P的坐标;若不存在说明理由;

(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点，△MAB的面积为S，求S的最大(小)值.

【答案】解：(1)如图1，连接OB。

∵BC=2，OC=1，∴OB= 。

∴B(0， )。

将A(3，0)，B(0， )代入二次函数的表达式，

得 ，解得： 。

∴抛物线的解析式为 。

(2)存在。

如图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P。

∵B(0， )，O(0，0)，

∴直线l的表达式为 .代入抛物线的表达式，

得 ;解得 。

∴P( )。

(3)如图3，作MH⊥ 轴于点H。设M( )，

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB

=

= 。

∵ ，

∴

= 。

∴当 时， 取得最大值，最大值为 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，二次函数最值。

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式.因为已知A(3，0)，所以需要求得B点坐标.如图1，连接OB，利用勾股定理求解。

(2)由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上.如图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解。

(3)如图3，作MH⊥ 轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值。

18. (2012山东威海12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为B(2，1)，且过点A(0，2)。直线 与抛物线交于点D、E(点E在对称轴的右侧)。抛物线的对称轴交直线 于点C，交x轴于点G。PM⊥x轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。

(1)求该抛物线的表达式;

(2)求点P的坐标;

(3)试判断CE与EF是否相等，并说明理由;

(4)连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等?若存在，试求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)∵抛物线 的顶点为B(2，1)，

∴可设抛物线的解析式为 。

将A(0，2)代入，得 ，解得 。

∴该抛物线的表达式 。

(2)将 代入 ，得 ，

∴点C的坐标为(2，2)，即CG=2。

∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。

∵PM⊥x轴，，∴∠CMG=300。∴CM=4，GM= 。∴OM= ，PM=4。

∴点P的坐标为( ，4)。

(3)相等。理由如下：

联立 和 得 ，解得 ， 。

∵ 不合题意，舍去，

∴EF= ，点E的坐标为( ， )。

∴ 。

又∵ ，∴ 。

∴CE=EF。

(4)不存在。理由如下：

假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE。

∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。

∴△CNE是等边三角形。

∴EN=CE，∠CEN=600。

又∵由(3)CE=EF，∴EN=EF。

又∵点E是直线 上的点，∴∠CEF=450。

∴点N与点F不重合。

∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存在。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。

【分析】(1)根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。

(2)由点C是抛物线对称轴x=2和直线 的交点可求得点C的坐标，由△PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。

(3)计算出CE和EF的值即可得出结论。

(4)用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛盾的结论。

19. (2012山东潍坊10分)许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题.某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图)，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度.为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90)，记录相关数据得到下表：

旋钮角度(度) 20 50 70 80 90

所用燃气量(升) 73 67 83 97 115

(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式;

(2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?

(3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量.

【答案】解：(1)若设y=kx+b(k≠0)，

由 解得 。∴y= x+77。

把x=70代入得y=65≠83，∴一次函数不符合。

若设 (k≠0)，由 解得k=1460。∴ 。

把x=50代入得y=29.2≠67，∴反比例函数不符合。

若设y=ax2+bx+c，

由 解得 。∴y= x2 x+97(18≤x≤90)。

把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意。

∴二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律。

(2)由(1)得：y= x2 x+97= (x-40)2+65，

∴当x=40时，y取得最小值65。

答：当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升。

(3)由(2)及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50(升)，设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：

，解得a=23。

答：该家庭以前每月平均用气量为23立方米。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】(1)先假设函数为一次函数，任选两点求出函数解析式，再将各点代入验证;再假设函数为二次函数，任选三求出函数解析式，再将各点代入验证

(2)将(1)所求二次函数解析式，化为顶点式，转化为二次函数最值的问题。

(3)由(2)及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50，再设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，据此解答即可。

20. (2012山东潍坊11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2，O)、B(2，0)、C(0，-l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D(0，-2)作平行于x轴的直线 、 .

(1)求抛物线对应二次函数的解析式;

(2)求证以ON为直径的圆与直线 相切;

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线 的距离之和等于线段MN的长.

【答案】解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

则 解得 。

∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 。

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，

∴ ，∴x22=4(y2+1)。

又∵ ，∴ 。

又∵y2≥-l，∴ON=2+y2。

设ON的中点E，分别过点N、E向直线 作垂线，垂足为P、F， 则 ，

∴ON=2EF，

即ON的中点到直线 的距离等于ON长度的一半，

∴以ON为直径的圆与 相切。

(3)过点M作MH⊥NP交NP于点H，则 ，

又∵y1=kx1，y2=kx2，∴(y2-y1)2=k2(x2-x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。

又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，

∴ ，即x2-4kx-4=0，∴x2+x1=4k，x2•x1=-4。

∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2+xl)2-4x2•xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。

延长NP交 于点Q，过点M作MS⊥ 交 于点S，

则MS+NQ=y1+2+y2+2=

∴MS+NQ=MN，即M、N两点到 距离之和等于线段MN的长。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。

(2)要证以ON为直径的圆与直线 相切，只要证ON的中点到直线 的距离等于ON长的一半即可。

(3)运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线 的距离之和，相比较即可。

21. (2012山东烟台8分)某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费;月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费.设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元.

(1)分别求出0≤x≤200和x>200时，y与x的函数表达式;

(2)小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度?

【答案】解：(1)当0≤x≤200时，y与x的函数表达式是y=0.55x;

当x>200时，y与x的函数表达式是y=0.55×200+0.7(x﹣200)，即y=0.7x﹣30。

(2)∵小明家5月份的电费超过110元，

∴把y=117代入y=0.7x﹣30中，得x=210。

答：小明家5月份用电210度。

【考点】一次函数的应用。

【分析】(1)0≤x≤200时，电费y=0.55×相应度数;x>200时，电费y=0.55×200+超过200的度数×0.7。

(2)把117代入x>200得到的函数求解即可。

22. (2012山东烟台8分)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的纵坐标分别为7和1，直线AB与y轴所夹锐角为60°.

(1)求线段AB的长;

(2)求经过A，B两点的反比例函数的解析式.

【答案】解：(1)分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，

由题意，知∠BAC=60°，AD=7﹣1=6，

∴ 。

(2)设过A，B两点的反比例函数解析式为 ，A点坐标为(m，7)，?

∵BD=AD•tan60°=6 ，∴B点坐标为(m+6 ，1)。

∴ ，解得k=7 。

∴所求反比例函数的解析式为 。

【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D，根据A、B两点纵坐标求AD，解直角三角形求AB。

(2)根据A点纵坐标设A(m，7)，解直角三角形求BD，再表示B点坐标，将A、B两点坐标代入 中，列方程组求k的值即可。

23. (2012山东枣庄10分)如图，在平面直角坐标xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6， ).线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= .

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;

(2)求△AOC的面积.

【答案】解：(1)过点A作AD⊥x轴于D点，如图，

∵sin∠AOE= ，OA=5，∴sin∠AOE= 。

∴AD=4，∴DO= 。

而点A在第二象限，∴点A的坐标为(-3，4)。

将A(-3，4)代入 ，得m=-12，

∴所求的反比例函数的解析式为 。

将B(6，n)代入 ，得n =-2。

将A(-3，4)和B(6，-2)分别代入 ，得

，解得 。

∴所求的一次函数的解析式为 。

(2)在 中，令 ，即 ，解得 。

∴C点坐标为(0，3)，即OC=3，

∴ 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】(1)过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE= ，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标(-3，4)，把A(-3，4)代入 ，即可确定反比例函数的解析式;将B(6，n)代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入 ，即可确定一次函数函数的解析式。

(2)先令 ，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可。

24. (2012山东枣庄10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠

在两坐标轴上，点C为 (-1，0) .如图所示，B点在抛物线y=12x2+12x-2图象上，过点B作

BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3.

(1)求证：△BDC≌△COA;

(2)求BC所在直线的函数关系式;

(3)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所

有点P的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCD=∠OAC。

∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC=AC。

在△BDC和△COA中，∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC，

∴△BDC≌△COA(AAS)。

(2)∵C点坐标为 (-1，0)，∴BD=CO=1。

∵B点横坐标为-3，∴B点坐标为 (-3，1)。

设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，

∴-k+b=0-3k+b=1，解得k=-12b=-12。∴BC所在直线的函数关系式为y=-12 x-12 。

(3)存在 。

∵y=12x2+12x-2=12(x+12)2x-178，∴对称轴为直线x=-12。

若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，

∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x=-12的交点。

由题意可得：y=-12x-12x=-12 ， 解得，x=-12y=-14。∴P1(-12，-14)。

若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，

则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x=-12于点P2，

∵CD=OA，∴A(0，2)。

设直线AP2的解析式为：y=-12x+m，把A(0，2)代入得m=2。

∴直线AP2的解析式为：y=-12x+2。

由题意可得：y=-12x+2x=-12，解得，x=-12y=-94。∴P2(-12，-94)。

∴P点坐标分别为P1(-12，-14)、P2(-12，-94)。

【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。

(2)求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。

(3)分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。

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