【编者按】为了丰富同学们的学习生活，精品学习网中考频道为同学们搜集整理了中考数学模拟题：2012年山东省三角形中考数学题分类解析，供大家参考，希望对大家有所帮助!

2012年山东省三角形中考数学题分类解析

专题9：三角形

一、选择题

1. (2012山东滨州3分)把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】

A.不变　　B.缩小为原来的 　　C.扩大为原来的3倍　　D.不能确定

【答案】A。

【考点】锐角三角函数的定义。

【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变。故选A。

2. (2012山东德州3分)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB; ②CD，∠ACB，∠ADB;③EF，DE，BD;④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有【 】

A.1组 B.2组 C.3组 D.4组

【答案】C。

【考点】解直角三角形的应用，相似三角形的应用。

【分析】此题比较综合，要多方面考虑：

①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长;

②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组 求出AB;

③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例 ，求出AB;

④无法求出A，B间距离。

因此共有3组可以求出A，B间距离。故选C。

3. (2012山东济南3分)如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为【 】

A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D.3

【答案】A。

【考点】网格问题，锐角三角函数的定义。

【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解：

由图形知：tan∠ACB= 。故选A。

4. (2012山东济宁3分)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是【 】

A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等

【答案】A。

【考点】作图(基本作图)，全等三角形的判定和性质。

【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：

在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，

∴△ONC≌△OMC(SSS)。∴∠AOC=∠BOC。故选A。

5. (2012山东聊城3分)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是【 】

A.BC=2DE　　B.△ADE∽△ABC　　C. 　D.S△ABC=3S△ADE

【答案】D。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论：

∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，

∴BC=2DE。故A正确。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确。

∵△ADE∽△ABC，∴ ，故C正确。

∵DE是△ABC的中位线，∴AD：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE，故D错误。

故选D。 .

6. (2012山东泰安3分)如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为【 】

A. 米　　B.10米　　C. 米　　D. 米

【答案】A。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，∴ =tan30°。∴BD= 。

∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC= 。

∵CD=20，∴CD=BD﹣BC= 。解得：AB= 。故选A。

7. (2012山东泰安3分)如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

A.4　　B.3　　C.2　　D.1

【答案】D。

【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】连接DE并延长交AB于H，

∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。

∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE(AAS)。

∴DE=HE，DC=AH。

∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF= BH。

∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。

8. (2012山东烟台3分)如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是【 】

A.h2=2h1　　B.h2=1.5h1　　C.h2=h1　　D.h2= h1

【答案】C。

【考点】三角形中位线定理。

【分析】直接根据三角形中位线定理进行解答即可：

如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，

∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线。∴h1=2OC。

同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2=2OC。

∴h1=h2。故选C。

9. (2012山东枣庄3分)如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板 的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为【 】

A. 6㎝ B. 4㎝ C.(6- )㎝ D.( )㎝

【答案】C。

【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，旋转的性质。

【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，

∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，

∴BC= AB=6，AC=AB•sin30°= 。

由旋转的性质可知B′C=BC=6，

∴AB′=AC-B′C= 。

在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′•tan30°= (cm)。故选C。

二、填空题

1. (2012山东滨州4分)如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ▲ °.

【答案】40。

【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B= 。

∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°。

∵AD=DC，∴∠C= 。

2. (2012山东滨州4分)如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： ▲ (用相似符号连接).

【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】(1)在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF;

(2)在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE。

3. (2012山东济宁3分)在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣ |+(sinB﹣ )2=0，则∠C=　 ▲ 　.

【答案】75°。

【考点】非负数的性质，绝对值，偶次方，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。

【分析】∵|cosA﹣ |+(sinB﹣ )2=0，∴cosA﹣ =0，sinB﹣ =0。

∴cosA= ，sinB= 。∴∠A=60°，∠B=45°。

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°。

4. (2012山东济宁3分)如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC。

∵BF⊥AC，∴∠ABF= ∠ABC=30°。

∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE。

∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO。

∵在△BAO和△EAO中，AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，

∴△BAO≌△EAO(SAS)。∴∠AEO=∠ABO=30°。∴tan∠AEO=tan30°= 。

5. (2012山东临沂3分)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= ▲ cm.

【答案】3。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°。

∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°。∴∠ECF=∠B，

在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，

∴△ABC≌△FEC(ASA)。∴AC=EF。

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm。

6. (2012山东潍坊3分)如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ▲ ， 使ΔABC≌ΔDBE. (只需添加一个即可)

【答案】∠BDE=∠BAC(答案不唯一)。

【考点】全等三角形的判定，开放型。

【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可：

∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。

∵AB=DB，

∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC;

②用“SAS”，需添加BE=BC;

③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB。

7. (2012山东烟台3分)计算：tan45°+ cos45°=　 ▲ 　.

【答案】2。

【考点】特殊角的三角函数值，二次根式的计算。

【分析】把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解：原式=1+ =2。

8. (2012山东枣庄4分)如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为 ▲ _.

【答案】 。

【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】由于DE为△ABC的中位线，BC=8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE=4;又由于∠AFB=90°，点D为AB的中点，AB=5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF= 。因此EF=DE-DF=4- = 。

三.解答题

1. (2012山东滨州12分)如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上.过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G.

(1)求证：△ADF≌△CBE;

(2)求正方形ABCD的面积;

(3)如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3

表示正方形ABCD的面积S.

2. (2012山东东营9分)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离?(参考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ，tan67.5°≈ )

【答案】解：根据题意得：PC⊥AB，设PC=x海里.

在Rt△APC中，∵ ，∴ 。

在Rt△PCB中，∵ ，∴ 。

∵AC+BC=AB=21×5，∴ ，解得x=60。

∵ ，∴ (海里)。

∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数定义。

【分析】根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，从而求得答案。

3. (2012山东菏泽6分)如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE.

【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。

4. (2012山东菏泽10分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

(1)试证明三角形△ABC为直角三角形;

(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由;

(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明).

【答案】解：(1)根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5;

显然有AB2+AC2=BC2，

∴根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形。

(2)△ABC和△DEF相似。理由如下：

根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5，DE=4 ，DF=2 ，EF=2 。

∴ 。∴△ABC∽△DEF。

(3)如图：

【考点】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似变换作图。

【分析】(1)利用网格借助勾股定理得出AB=2 ，AC= ，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。

(2)求出AB=2 ，AC= ，BC=5，DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ，利用三角形三边比值关系得出即可。

(3)根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可：

连接P2P5，P2P4，P4P5，

∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，AB=2 ，AC= ，BC=5，DE=4 ，

∴ 。

∴△ABC∽△P2P4 P5。

5. (2012山东莱芜9分)某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意

图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O

的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考

数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7).

【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在Rt△AOB中， ，即 ，

∴ 。

∵∠BAE=160，∴∠OAE=280+160=440。

在Rt△AOE中， ，即 ，

∴

9.333+1.5=10.833≈10.83(m)。

答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA;解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。

6. (2012山东聊城7分)周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图).小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到米)?(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41， ≈1.73)

【答案】解：作PD⊥AB于点D，

由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，

在Rt△PAD中，

由cos30°= ，得PD=PAcos30°=200× =100 (米)。

在Rt△PBD中，

由sin37°= ，得PB= (米)。

答：小亮与妈妈的距离约为288米。

【考点】解直角三角形的应用(方向角问题)，锐角三角函数。

【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。

7. (2012山东青岛8分)如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，

教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影

子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).

(1)求教学楼AB的高度;

(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保留整数).

(参考数据：sin22º≈ ，cos22º≈ ，tan22º≈ )

【答案】解：(1)过点E作EM⊥AB，垂足为M。

设AB为x.

在Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x。∴BC=BF+FC=x+13。

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，

又∵ ，∴ ，解得：x≈12。

∴教学楼的高12m。

(2)由(1)可得ME=BC=x+13≈12+13=25。

在Rt△AME中， ，

∴AE=ME cos22°≈ 。

∴A、E之间的距离约为27m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】(1)首先构造直角三角形△AEM，利用 ，求出即可。

(2)利用Rt△AME中， ，求出AE即可。

8. (2012山东泰安8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE.

(1)线段BH与AC相等吗?若相等给予证明，若不相等请说明理由;

(2)求证：BG2﹣GE2=EA2.

【答案】解：(1)线段BH与AC相等。证明如下：

∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，

在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，

∴△DBH≌△DCA(ASA)。∴BH=AC。

(2)证明：连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。

在△ABE和△CBE中，

∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE(ASA)。∴EC=EA。

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2。

∴BG2﹣GE2=EA2。

【考点】全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。

【分析】(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可。

(2)根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案。

9. (2012山东威海11分)

探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。

(1)如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线;

(2)如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等?请说明理由。

学以致用：仅用直尺(没有刻度)，试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。(写出作图步骤，保留作图痕迹)

【答案】解：(1)证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。

∴点E在线段AB的垂直平分线上。

在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，

∴△ABD≌△BAC(SSS)。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。

∴点O在线段AB的垂直平分线上。

∴直线EM是线段AB的垂直平分线。

(2)相等。理由如下：

∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。

∴ 。∴ 。∴ 。

∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。

∴ 。∴ 。∴ 。

∴ 。∴AM2=BM2。∴AM=BM。

(3)作图如下：

作法：① 连接AC，BD，两线相交于点O1;

② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H;

③ 连接BG，AH，两线相交于点O2;

④ 作直线EO2，交AB于点M;

⑤ 作直线MO1。

则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。

【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。

【分析】(1)一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上;另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC，从而得∠DBA=∠CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。

(2)一方面由CD∥AB，得△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB，利用对应边成比例可得 ;另一方面由CD∥AB，得△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB，利用对应边成比例可得 。从而得到 ，即可得到AM=BM的结论。

(3)按(2)的结论作图即可。

10. (2012山东潍坊10分)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道 上确定点D，使CD与 垂直，测得CD的长等于21米，在 上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600.

(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据： );

(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由.

11. (2012山东烟台10分)(1)问题探究

如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C

作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N.试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明.

(2)拓展延伸

①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N.D1M=D2N是否仍成立?若成立，给出证明;若不成立，说明理由.

②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立?(要求：在

图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

【答案】解：(1)D1M=D2N。证明如下：?

∵∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°。

∵∠AHK=∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°。

∴∠D1CK=∠HAC。

在△ACH和△CD1M中，∠D1CK=∠HAC，∠AHC=∠C M D1=90°，AC=C D1，

∴△ACH≌△CD1M(AAS)。∴D1M=CH。

同理可证D2N=CH。

∴D1M=D2N。

(2)①D1M=D2N成立。证明如下：

过点C作CG⊥AB，垂足为点G，

∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，

∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，∠AH1C=∠ACD1，

∴∠H1AC=∠D1CM。

在△ACG和△CD1M中，∠H1AC=∠D1CM，∠AGC=∠C M D1=90°，AC=C D1，

∴△ACG≌△CD1M(AAS)。∴CG=D1M。

同理可证CG=D2N。

∴D1M=D2N。

②作图如下：

D1M=D2N还成立。

【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，三角形的内角和定理。

【分析】(1)根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证。

(2)①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证。

②结论仍然成立，与①的证明方法相同。

12. (2012山东枣庄8分)　为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图.车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2.

(1)求车架档AD的长;

(2)求车座点E到车架档AB的距离.

(结果精确到1 cm.参考数据： sin75°=0.966, cos75°=0.259，tan75°=3.732)

【答案】解：(1)在Rt△ACD中，AC=45，CD=60，∴AD= ，

∴车架档AD的长为75cm。

(2)过点E作EF⊥AB，垂足为点F，

距离EF=AEsin75°=(45+20)sin75°≈62.7835≈63。

∴车座点E到车架档AB的距离是63cm。

【考点】解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可。

(2)过点E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案。

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