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广东2012年中考数学试题分类解析汇编

专题10：四边形

一、选择题

1. (2012广东佛山3分)依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形(可认为是一般四边形的性质)，则这个图形一定是【 】

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形

【答案】 A。

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。

【分析】根据题意画出图形，如右图所示：

连接AC，

∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，

∴HG∥AC，HG= AC，EF∥AC，EF= AC。∴EF=GH，EF∥GH。

∴四边形EFGH是平行四边形。

由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形;同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。

故选A。

2.(2012广东广州3分)如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【 】

A.26　　B.25　　C.21　　D.20

【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。∴BE=AD=5。

∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选C。

3. (2012广东广州3分)在平面中，下列命题为真命题的是【 】

A.四边相等的四边形是正方形　　B.对角线相等的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形　　D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

【答案】C。

【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：

A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误;

B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误;

C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确;

D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形(如图)，故此选项错误。

故选C。

二、填空题

1. (2012广东省4分)如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　(结果保留π).

【答案】 。

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF⊥AB于点F。

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。

∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积-扇形ADE面积-三角形CBE的面积

= 。

2. (2012广东深圳3分)如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为 ▲ .

【答案】7。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，

∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。

∴∠AOM+∠BOF=90°。

又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。

在△AOM和△BOF中，

∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，

∴△AOM≌△BOF(AAS)。∴AM=OF，OM=FB。

又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。

∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。

∵OC=6 ，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=(6 )2，解得：CF=OF=6。

∴FB=OM=OF-FM=6-5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。

3. (2012广东湛江4分)如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去….若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，an，则an=　 ▲ .

【答案】 。

【考点】分类归纳(图形的变化类)，正方形的性质，勾股定理，同底幂乘法。

【分析】分析规律：

∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴ 。

同理

∴ 。

4. (2012广东肇庆3分)菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ▲ .

三、解答题

1. (2012广东省6分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，

在△ABO与△CDO中，∵∠ABO=∠CDO，BO=DO，∠AOB=∠COD，

∴△ABO≌△CDO(ASA)。∴AB=CD。

∴四边形ABCD是平行四边形。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。

【分析】根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO，再由BO=DO，∠AOB=∠COD，即可根据ASA得出

△ABO≌△CDO，故可得出AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边是平行四边形的判定得出结论。

2. (2012广东广州14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α(60°≤α<90°).

(1)当α=60°时，求CE的长;

(2)当60°<α<90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF?若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值.

【答案】解：(1)∵α=60°，BC=10，∴sinα= ，即sin60°= ，解得CE= 。