(2)①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，∴AF=FD。

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。

在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，

∴△AFG≌△CFD(AAS)。∴CF=GF，AG=CD。

∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF= AD= BC=5。∴AG=AF。

∴∠AFG=∠G。

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x。

∵CF=GF(①中已证)，∴CF2=( CG)2= CG2= (200﹣20x)=50﹣5x。

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣ )2+50+ 。

∴当x= ，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。

此时，EG=10﹣x=10﹣ ，CE= ，

∴ 。

3. (2012广东梅州8分)如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N;

②连接MN，分别交AB、AC于点D、O;

③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.

(1)求证：四边形ADCE是菱形;

(2)当∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积.

【答案】(1)证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。

又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。

∴△AOD≌△COE(AAS)。∴OD=OE。∴四边形ADCE是菱形。

(2)解：当∠ACB=90°时，

由(1)知AC⊥DE，∴OD∥BC。

∴△ADO∽△ABC。∴ 。

又∵BC=6，∴OD=3。

又∵△ADC的周长为18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。

∴ ，解得AO=4

∴ 。

【考点】作图(复杂作图)，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，从而得出△AOD≌△COE，即可得出四边形ADCE是菱形。

(2)利用当∠ACB=90°时，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。

4. (2012广东汕头12分)有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为(x，y).

(1)用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果;

(2)求使分式 有意义的(x，y)出现的概率;

(3)化简分式 ，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率.

【答案】解：(1)用列表法表示(x，y)所有可能出现的结果如下：

-2 -1 1

-2 (-2，-2) (-1，-2) (1，-2)

-1 (-2，-1) (-1，-1) (1，-1)

1 (-2，1) (-1，1) (1，1)

(2)∵(x，y)所有可能出现的结果共有9种情况，使分式 有意义的(x，y)有(﹣1，﹣2)、(1，﹣2)、(﹣2，﹣1)、(﹣2， 1)4种情况，

∴使分式 有意义的(x，y)出现的概率是 。

(3) 。

∵在使分式 有意义的4种情况中，值为整数的(x，y)有(1，﹣2)、

(﹣2， 1)2种情况，

∴使 分式的值为整数的(x，y)出现的概率是 。

【考点】列表法或树状图法，概率分式有意义的条件，分式的化简求值。

【分析】(1)根据题意列出表或画树状图，即可表示(x，y)所有可能出现的结果。

(2)根据(1)中的表或树状图中找出使分式 有意义的情况，再除以所有情况数即可。

(3)先化简，再在使分式 有意义的4种情况中，找出使分式的值为整数的(x，y)的情况，再除以所有情况数即可。

5. (2012广东湛江8分)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF.

求证：(1)△ABE≌△CDF;

(2)四边形BFDE是平行四边形.

【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，

在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)。

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。

∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF。

∴四边形BFDE是平行四边形。

【考点】平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定。

【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等的性质，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF。

(2)由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF。根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形。

6. (2012广东肇庆8分) 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.

(1)求证：BD=BE;

(2)若DBC=30，BO=4，求四边形ABED的面积.

【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，

∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形。

∴AC=BE。∴BD=BE。 (2)解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8。

∵∠DBC=30°，∴CD= BD= ×8=4，BC=BD•cos∠DBC=8× 。

∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8

∴四边形ABED的面积= (AB+DE)•BC= ×(4+8)× 。

【考点】矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证。

(2)根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，根据锐角三角函数求出BC的长(或用勾股定理求)，并根据等腰三角形三线合一的性质求出DE的长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解。

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