【答案】解：(1)在 中，

令x=0，得y=-9，∴C(0，﹣9);

令y=0，即 ，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A(﹣3，0)、B(6，0)。

∴AB=9，OC=9。

(2)∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴ ，即： 。

∴s= m2(0

(3)∵S△AEC= AE•OC= m，S△AED=s= m2，

∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED

=﹣ m2+ m=﹣ (m﹣ )2+ 。

∴△CDE的最大面积为 ，

此时，AE=m= ，BE=AB﹣AE= 。

又 ，

过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得： ，即： 。

∴ 。

∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2= 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】(1)已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标;当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

(2)直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

(3)①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

5. (2012广东深圳9分)如图，在平面直角坐标系中，直线 ：y=-2x+b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化.

(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2.

当b=　　　　时，直线 ：y=-2x+b (b≥0)经过圆心M：

当b=　　　　时，直线 ：y=-2x+b(b≥0)与OM相切：

(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B(6，0)、C(6，2).

设直线 扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

【答案】解：(1)10; 。

(2)由A(2，0)、B(6，0)、C(6，2)，根据矩形的性质，得D(2，2)。

如图，当直线 经过A(2，0)时，b=4;当直线 经过D(2，2)时，b=6;当直线 经过B(6，0)时，b=12;当直线 经过C(6，2)时，b=14。

当0≤b≤4时，直线 扫过矩形ABCD的面积S为0。

当4

在 y=-2x+b中，令x=2，得y=-4+b，则E(2，-4+b)，

令y=0，即-2x+b=0，解得x= ，则F( ，0)。

∴AF= ，AE=-4+b。

∴S= 。

当6

在 y=-2x+b中，令y=0，得x= ，则G( ，0)，

令y=2，即-2x+b=2，解得x= ，则H( ，2)。

∴DH= ，AG= 。AD=2

∴S= 。

当12

在 y=-2x+b中，令y=2，即-2x+b=2，解得x= ，则M( ，0)，

令x=6，得y=-12+b，，则N(6，-12+b)。

∴MC= ，NC=14-b。

∴S= 。

当b>14时，直线 扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。

综上所述。S与b的函数关系式为：

。

【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。

【分析】(1)①∵直线y=-2x+b (b≥0)经过圆心M(4，2)，

∴2=-2×4+b，解得b=10。

②如图，作点M垂直于直线y=-2x+b于点P，过点

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=-2x+b与x，y轴分别交于点A，B。

则由△OAB∽△HMP，得 。

∴可设直线MP的解析式为 。

由M(4，2)，得 ，解得 。∴直线MP的解析式为 。

联立y=-2x+b和 ，解得 。

∴P( )。

由PM=2，勾股定理得， ，化简得 。

解得 。

(2)求出直线 经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，414五种情况分别讨论即可。

6. (2012广东湛江12分)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒 个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).

(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;

(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值?若存在，请求出最大值;若不存在，请说明理由;

(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形?

【答案】解：(1)N(3，4)。

∵A(6，0)

∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax(x﹣6)，则将N(3，4)代入得

4=3a(3﹣6)，解得a=﹣ 。

∴抛物线的解析式： 。

(2)存在。过点N作NC⊥OA于C，

由题意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NA•sin∠BAO= 。

∴ 。

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。

(3)在Rt△NCA中，AN= t，NC=AN•sin∠BAO= ，AC=AN•cos∠BAO=t。

∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N(6﹣t， )。

∴ 。

又AM=6﹣t且0

①当MN=AN时， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6(舍去)。

②当MN=MA时， ，即 ，解得t1=0(舍去)，t2= 。

③当AM=AN时，6﹣t= t，即t= 。

综上所述，当t的值取 2或 或 时，△MAN是等腰三角形。

【考点】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。

【分析】(1)由A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。

当t=3时，AN= t=5= AB，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标N(3，4)。

利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。

(2)△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。

(3)首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可。

7. (2012广东珠海9分)如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3 ，DC= ，高CE=2 ，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G;当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.

(1)填空：∠AHB=　 　;AC=　 ;

(2)若S2=3S1，求x;

(3)设S2=mS1，求m的变化范围.

【答案】解：(1)90°;4。

(2)直线移动有两种情况：0

①当0

∵直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，

∴△AMN和△ARQ的相似比为1：2。

∴ 。∴S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。

∴当0

②当 ≤x≤2时，

∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。

∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。

∴CH=DH= AC=1，AH═BH=4﹣1=3。

∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD= ×4×1=2

∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。

∴ 。

又 ，

∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴ ，

∴S1= x2，S2=8﹣8(2﹣x)2。

∵S2=3S1，∴8﹣8(2﹣x)2=3• x2，解得：x1= (舍去)，x2=2。

∴x的值为2。

(3)由(2)得：当0

当 ≤x≤2时，∵S2=mS1，

∴ 。

∴m是 的二次函数，当 ≤x≤2时，即当 时，m随 的增大而增大，

∴当x= 时，m最大，最大值为4;当x=2时，m最小，最小值为3。

∴m的变化范围为：3≤m≤4。

【考点】相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。

【分析】(1)过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，

∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形。

∴BK=CD= ，CK=BD。

∴AK=AB+BK= 。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC。

∴AC=CK。∴AE=EK= AK=2 =CE。

∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°。∴∠ACK=90°。∴∠AHB=∠ACK=90°

∴AC=AK•cos45°= 。

(2)直线移动有两种情况：0

0

(3)由(2)可得当0

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