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2012年福建省三角形中考数学题解析

专题9：三角形

一、选择题

1. (2012福建南平4分)一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是【 】

A.6 B.12 C.18 D.36

【答案】C。

【考点】三角形中位线定理。

【分析】根据题意画出图形，

∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴由三角形的中位线定理可知DE= BC，DF= AC，EF= AB，

∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18。故选C。

2. (2012福建漳州4分)将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是【 】

A.45o B.60o C.75o D.90o

【答案】 C。

【考点】三角形的外角性质，直角三角形的性质。

【分析】如图，∵∠1=90°-60°=30°，

∴∠α=45°+30°=75°。故选C。

3. (2012福建三明4分)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】

A. 2个 B. 3个 C.4个 D.5个

【答案】C。

【考点】等腰三角形的判定。

【分析】如图，分OP=AP(1点)，OA=AP(1点)，OA=OP(2点)三种情况讨论。

∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。

4.(2012福建福州4分)如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热

气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点煌距离是【 】

A.200米 B.2003米 C.2203米 D.100(3+1)米

【答案】D。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可：

由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，

∵ CD⊥AB于点D，

∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=CDAD，∴ AD=CDtanA=10033=1003。

在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°，∴ DB=CD=100。

∴ AB=AD+DB=1003+100=100(3+1)(米)。故选D。

二、填空题

1. (2012福建南平3分)如图，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=28°，AC=6米，则相邻两树的坡面距离AB≈ ▲ 米.(精确到0.1米)

【答案】6.8。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义。

【分析】利用线段AC的长和∠A的余弦弦值求得线段AB的长即可：

(米)。

2. (2012福建龙岩3分)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC = BC = 6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC

于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ▲ .

【答案】12。

【考点】等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行的性质。

【分析】∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°。∴四边形FCGE是矩形。

∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，∴∠BEG=∠A=45°=∠B。∴EG=BG。

同理AF=EF，

∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12。

3. (2012福建三明4分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ▲ .

【答案】3 。

【考点】三角形中位线定理。

【分析】∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线。

又∵BC=6，∴DE= BC=3。

4.(2012福建三明4分)如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条

件，使DE=DF成立.你添加的条件是 ▲ .(不再添加辅助线和字母)

【答案】∠B=∠C(答案不唯一)。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，邻补角的性质。

【分析】在△BDE和△CDF中，已有BD=CD和∠BDE=∠CDF，只要添加一角相等即可由ASA或AAS证得△BDE≌△CDF，从而证得DE=DF成立。

故可添加∠B=∠C或∠BED=∠CFD;

也可添加AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠B=∠C;

也可添加∠AED=∠AFD，根据邻补角的性质得∠BED=∠CFD等。答案不唯一。

5. (2012福建福州4分)如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于

点D，则AD的长是 ▲ ，cosA的值是 ▲ .(结果保留根号)

【答案】5-12;5+14。

【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值;过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值：

∵ 在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，∴ ∠ABC=∠ACB=180°-∠A2=72°。

∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°。

∴ ∠A=∠DBC=36°。

又∵∠C=∠C，∴ △ABC∽△BDC。∴ACBC=BCCD。

设AD=x，则BD=BC=x.则1x=x1-x，解得：x=5+12(舍去)或5-12。

∴x= 5-12。

如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵ AD=BD，∴E为AB中点，即AE=12AB=12。

在Rt△AED中，cosA=AEAD=125-12=5+14。

6. (2012福建泉州4分)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于点D，则BD的长是 ▲ .

【答案】3。

【考点】等腰三角形的性质。

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质直接得出结果：

∵AB=AC，BC=6，AD⊥BC。∴BD= BC=3。

7. (2012福建泉州4分)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A、B)，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P( ),( 为自然数).

(1)如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P( )、P( )都是过点P的△ABC的相似线(其中 ⊥BC， ∥AC)，此外还有 ▲ _条.

(2)如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 ▲ 时，P( )截得的三角形面积为△ABC面积的 .

【答案】(1)1;(2) 或 或 。

【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)如图， “相似线”还有一条，即与BC平行的直线 。

(2)如图， “相似线”有三条： ， ， 。

∵P( )截得的三角形面积为△ABC面积的 ，

∴△PBD，△APE，△FBP和△ABC的相似比是 。

对于△PBD，有 。

对于△APE，有 ，∴ 。

对于△FBP，若点F在BC上，有 ，即BA=2BF。

又在Rt△BPF中，∠B=30°，则 。∴ 。

若点F在AC上，有 ，即BA=2FA。

又在Rt△APF中，∠A=60°，则 。

∴ 。∴ 。

综上所述，当 或 或 时，P( )截得的三角形面积为△ABC面积的 。

三、解答题

1. (2012福建厦门6分)已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，且AC∥DF.

求证：△ABC≌△DEF.

【答案】证明：∵ AC∥DF， ∴ ∠ACB=∠DFE。

又∵ ∠A=∠D，AC=DF，∴ △ABC≌△EDF(ASA)。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】利用ASA证明两三角形全等即可。

2. (2012福建厦门7分)已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE=3， BC=9.

(1)求 ADAB 的值;

(2)若BD=10，求sin∠A的值.

3. (2012福建莆田12分)(1)(3分)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D.

求证：AB2=AD•AC;

(2)(4分)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC