于点F. ，求 的值;

(3)(5分) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥AD

于点E，交直线AC于点F。若 ，请探究并直接写出 的所有可能的值(用含n的式子表

示)，不必证明.

【答案】解：(1)证明：如图①，∵　BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB=∠ABC，

又∵ ∠A=∠A，∴ △ADB∽△ABC 。

∴ ，∴ AB2=AD•AC。

(2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF。

又∵ ，

∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC。

又∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG(AAS)。

∴ED=GD= 。

由(1)可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，

∴ 。∴ AE=4DE。∴ 。

又∵CG∥BF，∴ 。

(3) ①当点D在BC边上时， 的值为n2+n;

②当点D在BC延长线上时， 的值为n2-n;

③当点D在CB延长线上时， 的值为n-n2。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例的性质。

【分析】(1)由证△ADB∽△ABC即可得到结论。

(2)过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用(1)的结论即可。

(3)分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论：

①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF。

∴△BDE∽△CDG。∴ 。

又∵ ，∴

∴AB=nBC，BD=nDC，ED=nGD。

∴BC=(n+1)DC，EG= ED。

由(1)可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，

∴ 。∴ AE= DE。

∴ 。

又∵CG∥BF，∴ 。

②当点D在BC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CHD=∠BED=90°，CH∥BF。

∴△BDE∽△CDH。∴

又∵ ，∴

∴AB=nBC，BD=nDC，ED=nHD。

∴BC=(n-1)DC，EH= ED。

由(1)可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，

∴ 。∴ AE= DE。

∴ 。

又∵CH∥BF，∴ 。

③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CID=∠BED=90°，CI∥BF。

∴△BDE∽△CDI。∴

又∵ ，∴

∴AB=nBC，BD=nDC，ED=nID。

∴BC=(1-n)DC，EI= ED。

由(1)可得：AB2=AE•AD，BD2=DE•AD，

∴ 。∴ AE= DE。

∴ 。

又∵CI∥BF，∴ 。

4. (2012福建宁德8分)如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE.问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系?并加以证明.

【答案】解：CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF。证明如下：

∵AB∥CD，∴∠A=∠D。

∵在△ABF和△DCE中，AB=CD，∠A=∠D，AF=DE，∴△ABF≌△DCE(SAS)。

∴CE=BF，∠AFB=∠DEC。∴CE∥BF。

∴CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF。

【考点】平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】CE和BF的关系是CE=BF(数量关系)，CE∥BF(位置关系)，理由是根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS证△ABF≌△DCE，推出CE=BF，∠AFB=∠DEC即可。

5. (2012福建宁德10分)图1是安装在房间墙壁上的壁挂式空调，图2是安装该空调的侧面示意图，空调风叶AF是绕点A由上往下旋转扫风的，安装时要求：当风叶恰好吹到床的外边沿，此时风叶与竖直线的夹角α为48°，空调底部BC垂直于墙面CD，AB=0.02米，BC=0.1米，床铺长DE=2米，求安装的

空调底部位置距离床的高度CD是多少米?)(结果精确到0.1米)

【答案】解：根据题意可得：

∵AB=0.02m，BC=0.1m，DE=2m，EM=ED-BC=1.9m，α=48°，

∴ ，解得：BM≈1.7(m)。

∴CD=1.7(m)。

答：安装的空调底部位置距离床的高度CD是1.7米。

【考点】解直角三角形的应用。

【分析】根据已知得出EM，的长度以及利用锐角三角函数求出EM的长度即可。

6. (2012福建漳州8分)在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B、F、C、E在同

一直线上)，并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2.

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.

题设：______________;结论：________.(均填写序号)

证明：

【答案】解题设：①②③;结论：④.

证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF。

在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，

∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠1=∠2。

【考点】命题与定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】此题可以分成三种情况：

情况一：题设：①②③;结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF。

情况二：题设：①③④;结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF：

在△ABC和△DEF中，∵ AB=DE，∠B=∠E，∠1=∠2，∴△ABC≌△DEF(AAS)。

∴BC=EF，∴BC-FC=EF-FC，即BF=EC。

情况三：题设：②③④;结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的

性质可推出结论：

∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF。

在△ABC和△DEF中，∵∠B=∠E ，BC=EF，∠1=∠2，∴△ABC≌△DEF(ASA)。∴AB=DE。

7. (2012福建漳州10分)极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台

上.为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22o;

再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39o(如图是他设计的平面示意图).已知平台的高度

BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米?

(参考数据：sin22o≈ ，tan220≈ ，sin39o≈ ，tan39o≈ )

【答案】解：在Rt△ACG中，tan22°= ，∴CG= AG。

在Rt△ACG中tan39°= ，∴EG= AG。

∵CG-EG=CE.∴ AG- AG=63。∴AG=50.4。

∵GH=CD=1.1，BH=13，∴BG=13-1.1=11.9。

∴AB=AG-BG=50.4-11.9=38.5(米)。

答：“八卦楼”的高度约为38.5米。

【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，锐角三角函数定义。

【分析】先根据锐角三角函数的定义用AG表示出CG及EG的长，再根据CG-EG=CE，求出AG的长，再由GH=CD=1.1，BH=13可求出BG的长，由AB=AG-BG即可得出结论。

8. (2012福建福州7分)如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF.求证：△ABF≌△CDE.

【答案】证明：∵ AB∥CD，∴ ∠A=∠C。

∵ AE=CF，∴ AE+EF=CF+EF，即 AF=CE。

又∵ AB=CD，∴ △ABF≌△CDE(SAS)。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定。

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