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2012年江苏省中考数学圆试题解析

一、选择题

1. (2012江苏常州2分)已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】

A.外离 B.内切 C.相交 D.内含

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

∵两半径之差7-3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。

2. (2012江苏淮安3分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=400，则∠B的度数为【 】

A、800 B、600 C、500 D、400

【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据直径所对圆周角不直角的性质，由AB是⊙O的直径，点C在⊙O上得∠C=900;根据三角形内角和定理，由∠A=400，得∠B=1800-900-400=500。故选C。

3. (2012江苏苏州3分)如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上， ，∠AOB=60°，则∠BDC

的度数是【 】

A.20° B.25° C.30° D. 40°

【答案】C。

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系。

【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数：

∵ ，∠AOB=60°，∴∠BDC= ∠AOB=30°。故选C。

4. (2012江苏宿迁3分)若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【 】

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

∵r1+r2=6，r2-r1=2，d=5，∴r2-r1

5. (2012江苏泰州3分)如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】

A.40° B.45° C.50° D.60°

【答案】A。

【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。

【分析】连接OB，

∵∠A和∠BOC是弧 所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，

∴∠BOC=2∠A=100°。

又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC= ∠BOC=50°。

∴∠OCD=1800-900-500=400。故选A。

6. (2012江苏无锡3分)已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是【 】

A. 20cm2 B. 20πcm2 C. 15cm2 D. 15πcm2

【答案】D。

【考点】圆锥的计算。

【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：

圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π。故选D。

7. (2012江苏无锡3分)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【 】

A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交

【答案】D。

【考点】直线与圆的位置关系。

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①相交：dr(d为直线与圆的距离，r为圆的半径)。因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论：

当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切;

当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2

故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交。故选D。

8. (2012江苏无锡3分)如图，以M(﹣5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点，P是⊙M上异于A.B的一动点，直线PA.PB分别交y轴于C.D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【 】

A. 等于4 B. 等于4 C. 等于6 D. 随P点

【答案】C。

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。

【分析】 连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，

∵以M(﹣5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点，

∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1。

∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°。

∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°。

∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。

∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA。∴ ，即 ，即r2﹣x2=9。

由垂径定理得：OE=OF，

由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6。

故选C。

9. (2012江苏徐州3分)如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=700，则∠ACB的度数为【 】

A.700 B.500 C.400 D.350

【答案】D。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据同(等)弧所对圆周有是圆心角一半的性质直接得出结果：

∠ACB= ∠AOB= ×700=350。故选D。

10. (2012江苏扬州3分)已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【 】

A.外切 B.相交 C.内切 D.内含

【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

∵3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，∴两圆外切。故选A。

二、填空题

1. (2012江苏淮安3分)如图，⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为

▲ cm。

【答案】4。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此，

由⊙M与⊙N外切，MN=10cm，⊙M的半径为6cm，得⊙N的半径=10cm-6cm=4cm。

2. (2012江苏连云港3分)如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC=　▲　°.

【答案】70。

【考点】切线的性质，圆周角定理。

【分析】连接OB，OC，

∵PB，PC是⊙O的切线，∴OB⊥PB，OC⊥PC。

∴∠PBO=∠PCO=90°，

∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，

∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO=360°-90°-110°-90°=70°。

3. (2012江苏南通3分)如图，在⊙O中，∠AOB=46º，则∠ACB= ▲ º.

【答案】23°。

【考点】圆周角定理。

【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，

∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧 所对的圆周角和圆心角，且∠AOB=46º，∴

∠ACB= ∠AOB= ×46°=23°。

4. (2012江苏徐州2分)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC=8，BC=6，则sin∠ABD=

▲ 。

【答案】 。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900。

又∵CD⊥AB，∠ACD=∠ABC。

又∵∠ABD和∠ACD是同弧所对的圆周角，∴∠ABD=∠ACD。∴∠ABD=∠ABC。

又∵AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=10。∴sin∠ABD=sin∠ABC= 。

5. (2012江苏盐城3分)已知 与 的半径分别是方程 的两根,且 ,

若这两个圆相切,则t= ▲ .

【答案】2或0。

【考点】圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程。

【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程 的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3。

①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2;

②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0。

∴t为2或0。

6. (2012江苏扬州3分)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB=70°，那么∠P的度数是　▲　.

【答案】40°。

【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角与外角。

【分析】如图，连接OA，OB，

∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP。

∴∠OAP=∠OBP=90°，

又∵∠AOB和∠ACB都对弧 所对的圆心角和圆周角，且∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠ACB=140°。

∴∠P=360°-(90°+90°+140°)=40°。

三、解答题

1. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心， 为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。

(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);

(2)连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D)，连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?

(3)连接BC，求∠DBC-∠DBE的度数。

【答案】解：(1)B(3m，0)，E(m，4m)。

(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下：

由(1)知B(3m，0)，E(m，4m)，

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，

∴D(0，3m)。

∴ ， ，

。

∴ 。∴△BDE是直角三角形。

∴BE是△BDE的外接圆的直径。

设△BDE的外接圆的圆心为点G，则由B(3m，0)，E(m，4m)得G(2m，2m)。

过点G作GI⊥DG于点I，则I(0，2m)。

根据垂径定理，得DI=IQ ，∴Q(0，m)。

∴ 。

∴BQ=EQ。

(3)延长EP交x轴于点H，则EP⊥AB，BH=2m。

根据垂径定理，得AH=BH=2m，AO= m。

根据圆的对称性，OC=OA= m。

又∵OB=3m， ， ，

∴ 。 。

又∵∠COB=∠EDB=900，∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。

∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。

又∵OB=OC，∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理，圆的对称性，平行四边形的性质，中点坐标，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)过点P 作PH⊥x轴于点H，PF⊥y轴于点F，连接OE，BP。

∵点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m(m>0)，

∴ P(m，m)，H(m，0)，F(0，m)，OH=OF=HP= m。

∵PB= ，∴ 。

∴OB=3 m。∴B(3m，0)。

∵根据圆的对称性，点D点B关于y=x对称，∴D(0，3m)。

∵四边形DOPE是平行四边形，∴PE=OD=3m，HE=4m。∴E(m，4 m)。

(2)由勾股定理和逆定理，易知△BDE是直角三角形，从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标，从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。

(3)求出有关线段的长，可得 ，从而证得△COB∽△EDB，得到∠OBC=∠DBE。因此∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO=450。

2. (2012江苏南京8分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在 和扇形 中， 与 、 分别相切于A、B， ，E、F事直线 与 、扇形 的两个交点，EF=24cm，设 的半径为x cm，

① 用含x的代数式表示扇形 的半径;

② 若 和扇形 两个区域的制作成本分别为0.45元 和0.06元 ，当 的半径为多少时，该玩具成本最小?

【答案】解：(1)连接O1A。

∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，

∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。

∵ ，∴∠AO2O1= ∠CO2D=30°。

在Rt△O1AO2中， ，∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。

∵EF=24cm，∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x，即扇形O2CD的半径为(24-3x)cm。

3. (2012江苏南京10分)如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A、B重合)，我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。

(1)已知∠APB是 上关于点A、B的滑动角。

① 若AB为⊙O的直径，则∠APB=

② 若⊙O半径为1，AB= ，求∠APB的度数

(2)已知 为 外一点，以 为圆心作一个圆与 相交于A、B两点，∠APB为 上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交 于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合)，连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

【答案】解：(1)①900。

②如图，连接AB、OA、OB.

在△AOB中，∵OA=OB=1.AB= ，∴OA2+OB2=AB2。

∴∠AOB=90°。

当点P在优弧 AB 上时(如图1)，∠APB= ∠AOB=45°;

当点P在劣弧 AB 上时(如图2)，

∠APB= (360°-∠AOB)=135°。

(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，

∴∠APB=∠MAN-∠ANB。

第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB)，

∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°。

第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，

∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB。

第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。

【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。

【分析】(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。

②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧 上;点P在劣弧 上两种情况讨论即可。

(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

4. (2012江苏南通8分)如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离.

【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。