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2012年浙江省数量和位置变化中考数学题分类解析

一、选择题

1. (2012浙江嘉兴、舟山4分)如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】

A. B.

C. D.

【答案】D。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。

当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。

当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。

当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。

当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。

2. (2012浙江衢州3分)函数 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【 】

A. 　　B. 　　C. 　　D.

【答案】D。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】根据二次根式有意义的条件，计算出 的取值范围，再在数轴上表示即可，不等式的解集在数轴上表示的方法：>，≥向右画;<，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示;“<”，“>”要用空心圆点表示。

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须

。故在数轴上表示为： 。故选D。

3. (2012浙江绍兴4分)在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0，2).现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，﹣1)处，则此平移可以是【 】

A. 先向右平移5个单位，再向下平移1个单位 B. 先向右平移5个单位，再向下平移3个单位

C. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位 D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

【答案】B。

【考点】坐标与图形的平移变化。

【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，

根据A的坐标是(0，2)，横坐标加5，纵坐标减3得到点A′(5，﹣1)，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位。故选B。

4. (2012浙江温州4分)如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，

沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【 】

A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小

【答案】C。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，

∴S△ACM=S△BCM= S△ABC，

开始时，S△MPQ=S△ACM= S△ABC;

由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ= S△ABC;

结束时，S△MPQ=S△BCM= S△ABC。

△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。

二、填空题

1. (2012浙江丽水、金华4分)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.图中

l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶　 ▲ 　千米.

【答案】 。

【考点】函数的图象。

【分析】根据函数的图形可以得到甲用了30分钟行驶了12千米，乙用12分钟行驶了12千米，分别算出速度即可求得结果：

∵甲每分钟行驶12÷30= (千米)，乙每分钟行驶12÷12=1(千米)，

∴每分钟乙比甲多行驶1- (千米)。

2. (2012浙江衢州4分)试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式　 ▲ 　.

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】位于二、四象限的反比例函数比例系数k<0，据此写出一个函数解析式即可，如 (答案不唯一)。

3. (2012浙江绍兴5分)小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 ▲ (只需填序号)。

【答案】④②。

【考点】函数的图象。

【分析】∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，

∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②;

∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，

∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④。

4. (2012浙江义乌4分)如图，已知点A(0，2)、B( ，2)、C(0，4)，过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA.若四边形ABPQ为梯形，则：

(1)当AB为梯形的底时，点P的横坐标是　 ▲ 　;

(2)当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是　 ▲

【答案】 ， 。

【考点】梯形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值，平行四边形的判定和性质。

【分析】(1)如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，

∴Q在CP上。

∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，

∴AC垂直平分PQ。

∵A(0，2)，C(0，4)，∴AC=2。

∴ 。

∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是： 。

(2)如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上。∴BP∥y轴。

∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形。∴CP=AB= 。

∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是： 。

三、解答题

1. (2012浙江湖州12分)如图1，已知菱形ABCD的边长为 ，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点.点D的坐标为(- ，3)，抛物线y=ax2+b(a≠0)经过AB、CD两边的中点.

(1)求这条抛物线的函数解析式;

(2)将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移(如图2)，过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒(0

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由;

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中(包括边界)时，求t的取值范围.(写出答案即可)

【答案】解：(1)由题意得AB的中点坐标为(-3 ，0)，CD的中点坐标为(0，3)，

分别代入y=ax2+b，得 ，解得， 。

∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2+3。

(2)①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，

∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC= BC= ，DE= 。

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

(I)若∠ADF=90°，∠EDF=120°-90°=30°。

在Rt△DEF中，DE= ，得EF=1，DF=2。

又∵E(t，3)，F(t，-t2+3)，∴EF=3-(-t2+3)=t2。∴t2=1。

∵t>0，∴t=1 。

此时 ，∴ 。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。

(II)若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则 。

设EF=m，则FB=3-m。

∴ ，即m2-3m+6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。

(III)由题意得，∠DAF<∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

② 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行的性质，相似三角形的判定，解方程和不等式。

【分析】(1)根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。

(2)①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：

(I)若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值。

(II)若∠ADF=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值。

(III)∠DAF≠90°，此时t不存在。

②画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围：

如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N。

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N。

∵F(t，3-t2)，∴EF=3-(3-t2)=t2。∴EE′=2EF=2t2。

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得 。

又∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t- 。∴MN=3-(t- )2，

又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t2，

∴由MN≥C′N，得3-(t- )2≥3-2t2，即t2+2 t-3≥0。

求出t2+2 t-3=0，得 ，∴t2+2 t-3≥0即 。

∵ ，∴ ，解得t≥ 。

∴t的取值范围为： 。

2. (2012浙江嘉兴、舟山12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n].

(1)如图①，对△ABC作变换[60°， ]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=　 　;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为　 　度;

(2)如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值;

(4)如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值.

【答案】解：(1) 3;60。

(2)∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°。

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.

在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°。

∴AB′=2 AB，即 。

(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′。

又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°。∴∠C′AB′=∠BAC=36°。

而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA。∴AB：BB′=CB：AB。

∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)。

而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1(1+AB)，解得， 。

∵AB>0，∴ 。

【考点】新定义，旋转的性质，矩形的性质，含300角直角三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，公式法解一元二次方，。

【分析】(1)根据题意得：△ABC∽△AB′C′，

∴S△AB′C′：S△ABC= ，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。

(2)由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值。

(3)由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′)，继而求得答案。

3. (2012浙江丽水、金华10分)在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.

(1)如图1，当点A的横坐标为　　　　时，矩形AOBC是正方形;

(2)如图2，当点A的横坐标为 时，

①求点B的坐标;

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点?如果可以，说出变换的过程;如果不可以，请说明理由.

【答案】解：(1) -1。