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2012年湖北圆中考数学题解析

一、选择题

1. (2012湖北黄石3分)如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为【 】

A. B. C. D.

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理。

【分析】过点O作OD⊥AB，

∵∠AOB=120°，OA=2，

∴ 。

∴OD= OA= ×2=1， 。

∴ ，

∴ 。故选A。

2. (2012湖北黄石3分)如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于

点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为【 】

A. ° B. ° C. ° D. °

【答案】B。

【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接BD，

∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°。

∵当∠APB的度数最大时，点P和D重合，∴∠APB=90°。

∵AB=2，AD=1，∴ 。∴∠ABP=30°。

∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°。故选B。

3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为【 】

A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2

【答案】A。

【考点】扇形面积的计算，解直角三角形。

【分析】∵∠A=30°，AC=6cm，CD⊥AB，

∴∠B=60°，∠BCD=30°，CD=3cm，BD= cm，

∴ 。

∴阴影部分的面积为： cm2。故选A。

4. (2012湖北宜昌3分)已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】直线与圆的位置关系。1419956

【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交⇔d

线l和⊙O相离⇔d>r(d为直线与圆的距离，r为圆的半径)。因此，

∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，

∵5>3，即：d

5. (2012湖北恩施3分)如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】

A.3cm B.4cm C.6cm D.8cm

【答案】C。

【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。

【分析】如图，连接OC，AO，

∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB。∴AC=BC= AB

∵OA=5cm，OC=4cm，

∴在Rt△AOC中， 。

∴AB=2AC=6(cm)。故选C。

6. (2012湖北咸宁3分)如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为【 】.

A. π2 B. 2π3 C. π2 D. 2π3

【答案】A。

【考点】正多边形和圆，多边形内角和定理，等边三角形的判定和性质，切线的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，扇形面积。

【分析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°。

又∵OA0OB，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2。

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG=OA•sin60°=2× 。

∴ 。故选A。

7. (2012湖北黄冈3分)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】

A. 8 B. 10 C.16 D.20

【答案】D.

【考点】垂径定理，勾股定理。

【分析】连接OC，根据题意，CE= CD=6，BE=2.

在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，∴(x-2)2+62=x2，解得：x=10。

∴直径AB=20。故选D.

8. (2012湖北随州4分)如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=350，则么∠ADC=【 】

A.350 B.550 C.700 D.1100

【答案】B。

【考点】圆周角定理，直角三角形两锐角的关系。

【分析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)。

∵∠BAC=35°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-35°=55°(直角三角形两锐角互余)

∵∠B与∠ADC是 所对的圆周角，

∴∠ADC=∠B=55°(同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)。故选B。

9. (2012湖北襄阳3分)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是【 】

A.80° B.160° C.100° D.80°或100°

【答案】D。

【考点】圆周角定理。1028458

【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数：

如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC= ∠AOC= ×160°=80°。

∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。

∴∠ABC的度数是：80°或100°。故选D。

15.10. (2012湖北鄂州3分)如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【 】

A.40° B.50° C.60° D.70°

【答案】C。

【考点】圆周角定理。

【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C在以O为圆心OA为半径的圆上。

作⊙O。

∵ ∠ACB和∠AOB是同弧 所对的圆周角和圆心角，且∠ACB=30°，

∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选C。

二、填空题

1. (2012湖北荆门3分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F.已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE=　 ▲ 　.

【答案】 。

【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。

【分析】连接PB、PE.

∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，∴PB⊥BC，PE⊥OA。

∵BC∥OA，∴B、P、E在一条直线上。

∵A(2，0)，B(1，2)，∴AE=1，BE=2。∴ 。

∵∠EDF=∠ABE，∴tan∠FDE= 。

2. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(0，2)，半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为　 ▲ 　.

【答案】( ，0)或( ，0)。

【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。

【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：

①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ，

∴圆心N的坐标为( ，0)。

②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3， ，

∴圆心N的坐标为( ，0)。

综上所述，圆心N的坐标为( ，0)或( ，0)。

3. (2012湖北咸宁3分)如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度

线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半

圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是 ▲ 度.

【答案】140。

【考点】圆周角定理。

【分析】连接OE，

∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上，即点C在⊙O上。

∴∠EOA=2∠ECA。

∵∠ECA=2×35°=70°，

∴∠AOE=2∠ECA=2×70°=140°，即点E在量角器上对应的读数是140°。

4. (2012湖北孝感3分)把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是

▲ (结果不取近似值).

【答案】3000π。

【考点】圆柱的计算。

【分析】∵底面是边长为20cm的正方形，∴其内切圆的半径为10cm。

∴这个圆柱底面积为100πcm2。∴这个圆柱体积为100π×30=3000π(cm3)。

5. .(2012湖北襄阳3分)如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，

并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为　 ▲ 　dm.

【答案】1。

【考点】圆锥的计算，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆锥的侧面展开图弧长与圆锥的底面周长的关系。1028458

【分析】如图，作OD⊥AC于点D，连接OA，

∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=6。

∴ 。

∴根据圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长得，圆锥的底面圆的半径=2π÷(2π)=1。

三、解答题

1. (2012湖北武汉8分)在锐角△ABC中，BC=5，sinA= 4 5.

(1)如图1，求△ABC外接圆的直径;

(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA=B C，求AI的长。

【答案】解：(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。

则∠CBD=900，∠D=∠A。

∴ 。

∵BC=5，∴ 。

∴△ABC外接圆的直径为 。

(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E。

∵BA=BC，∴BH⊥AC。∴IH=IE。

在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BDH=4， 。

∵ ，∴ ，即 。

∵IH=IE，∴ 。

在Rt△AIH中， 。

【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A，从而由已知 ，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。

(2)连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定

和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由 求得 。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。

2. (2012湖北荆门10分)如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图.已知图中ABCD为等腰梯形(AB∥DC)，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m.设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数)

【答案】解：如图，连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F.则OF⊥AB.

∵OA=OB=5m，AB=8m，

∴AF=BF= AB=4(m)，∠AOB=2∠AOF，

在Rt△AOF中， ，

∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。

∵ (m)，由题意得：MN=1m，∴FN=OM-OF+MN=3(m)。

∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。

在Rt△ADE中， ，∴DE=2m，DC=12m。

∴ (m2)。

答：U型槽的横截面积约为20m2。

【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。

【分析】连接AO、BO.过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由 即可得出结果。

3. (2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田8分)如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD.

(1)求证：CD是⊙O的切线;(2)若AC=2，BC=3，求AB的长.

【答案】(1)证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，

∵AC是切线，∴OA⊥AC。

∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，

又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO(AAS)。∴OA=OE。

∴CD是⊙O的切线。

(2)解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，

∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。

∴CD=CE+DE=5。

∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。

∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。

在Rt△CDF中，CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24，∴AB=CF=2 。

【考点】切线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。

【分析】(1)过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。

(2)过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。

4. (2012湖北宜昌8分)如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为 的中点.

(1)求证：OF∥BD;

(2)若 ，且⊙O的半径R=6cm.

①求证：点F为线段OC的中点;

②求图中阴影部分(弓形)的面积.

【答案】(1)证明：∵OC为半径，点C为 的中点，∴OC⊥AD。

∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。

(2)①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF= BD。

∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。

∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，

∴ ，∴FC= BD。

∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。

②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，

又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。

∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为 。

∴ (cm2)。

答：图中阴影部分(弓形)的面积为 cm2。

【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】(1)由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD。

(2)①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点;

②根据S阴=S扇形AOC﹣S△AOC，求面积。

5. (2012湖北恩施12分)如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.