【编者按】为了丰富同学们的学习生活，精品学习网中考频道为同学们搜集整理了中考数学模拟题：2012年各地初三毕业升学考试数学压轴题精选，供大家参考，希望对大家有所帮助!

2012年各地初三毕业升学考试数学压轴题精选

【31. 2012娄底】

24.已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1，0)和点B(x2，0)，x1

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形?如果有，求出点P的坐标;如果没有，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

分析：(1)欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值.根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决.注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去;

(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标.

解答：解：(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1，0)和点B(x2，0)，x1

令y=0，即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0 ①，则有：

x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m.

∴ = = = ，

化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1.

当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去;

当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9>0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意.

∴m=1，

∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.

(2)假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形.

如图所示，连接PA.PB.AC.BC，过点P作PD⊥x轴于D点.

∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点，与y轴交于C点，

∴A(﹣2，0)，B(1，0)，C(0，2)，∴OB=1，OC=2.

∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，

∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB.

在Rt△PAD与Rt△CBO中，

∵ ，

∴Rt△PAD≌Rt△C BO，

∴PD=OC=2，即yP=2，

∴直线解析式为y=x+3，

∴xP=﹣1，

∴P(﹣1，2).

所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为(﹣1，2).

点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度.

【32. 2012福州】

22.(满分14分)如图①，已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标;

(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).

考点：二次函数综合题.

分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可;

(2) 根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标;

(3) 综合利用几何变换和相似关系求解.

方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折;

方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°.

特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=-x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解.

解答：解：(1) ∵ 抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4).

∴ 9a+3b=016a+4b=4，解得：a=1b=-3.

∴ 抛物线的解析式是y=x2-3x.

(2) 设直线OB的解析式为y=k1x，由点B(4，4)，

得：4=4k1，解得k1=1.

∴ 直线OB的解析式为y=x.

∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m.

∵ 点D在抛物线y=x2-3x上.

∴ 可设D(x，x2-3x).

又点D在直线y=x-m上，

∴ x2-3x =x-m，即x2-4x+m=0.

∵ 抛物线与直线只有一个公共点，

∴ △=16-4m=0，解得：m=4.

此时x1=x2=2，y=x2-3x=-2，

∴ D点坐标为(2，-2).

(3) ∵ 直线OB的解析式为y=x，且A(3，0)，

∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3).

设直线A'B的解析式为y=k2x+3，过点B(4，4)，

∴ 4k2+3=4，解得：k2=14.

∴ 直线A'B的解析式是y=14x+3.

∵ ∠NBO=∠ABO，

∴ 点N在直线A'B上，

∴ 设点N(n，14n+3)，又点N在抛物线y=x2-3x上，

∴ 14n+3=n2-3n，

解得：n1=-34，n2=4(不合题意，会去)，

∴ 点N的坐标为(-34，4516).

方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

则N1(-34，-4516)，B1(4，-4)，

∴ O、D、B1都在直线y=-x上.

∵ △P1OD∽△NOB，

∴ △P1OD∽△N1OB1，

∴ OP1ON1=ODOB1=12，

∴ 点P1的坐标为(-38，-4532).

将△OP1D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2(4532，38).

综上所述，点P的坐标是(-38，-4532)或(4532，38).

方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，

则N2(4516，34)，B2(4，-4)，

∴ O、D、B2都在直线y=-x上.

∵ △P1OD∽△NOB，

∴ △P1OD∽△N2OB2，

∴ OP1ON2=ODOB2=12，

∴ 点P1的坐标为(4532，38).

将△OP1D沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点P2(-38，-4532).

综上所述，点P的坐标是(-38，-4532)或(4532，38).

点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点.本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题.

【33. 2012南昌】

27.如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.

(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(2)研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点， 问线段EF的长度是否发生变化?如果不会，请求出EF的长度;如果会，请说明理由.

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：(1)抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a>0时，抛物线的开口向上;a<0时，抛物线的开口向下.

抛物线的对称轴方程：x=﹣ ;顶点坐标：(﹣ ， ).

(2)①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析.

②联系直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化.

解答：解：(1)抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3;

∴﹣ =﹣ =2， = =﹣1;

∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标(2，﹣1).

(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：

对称轴为x=2或定点的横坐标为2，

都经过A(1，0)，B(3，0)两点;

②线段EF的长度不会发生变化.

∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，

∴kx2﹣4kx+3k=8k，

∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，

解得：x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6，

∴线段EF的长度不会发生变化.

点评：该题主要考查的是函数的基础知识，有：二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握.

【34. 2012•恩施州】

24.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设 点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E的坐标;若不能，请说明理由;

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;

(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小;

(3)需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，x+3)和②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，x﹣1)，然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;

(4)方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，如图1.设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3).根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣ (x﹣ )2+ ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G，如图2.设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3).根据图示 以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣ (x﹣ )2+ ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;

解答： 解：(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1，0)及C(2，3)得，

，

解得 ，

故抛物线为y=﹣x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A(﹣1，0)及C(2，3)得

，

解得

故直线AC为y=x+1;

(2)作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′(6， 3 )，由(1)得D(1，4)，

故直线DN′ 的函数关系式为y=﹣ x+ ，

当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣ × = ;

(3)由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2)

∵点E在直线AC上，

设E(x，x+1)，

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

则F(x，x+3)，

∵F在抛物线上，

∴x+3=﹣x2+2x+3，

解得，x=0或x=1(舍去)

∴E(0，1);

②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点 F在点E下方，

则F(x，x﹣1)

由F在抛物线上

∴x﹣1=﹣x2+2x+3

解得x= 或x=

∴E( ， ) 或( ， )

综上，满足条件的点E为E(0，1)、( ， )或( ， );

(4)方法一：过点 P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，如图1

设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x 2+2x+3)

∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x﹣1)

=﹣x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQ•AG

= (﹣x2+x+2)×3

=﹣ (x﹣ )2+

∴面积的最大值为 .

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，

设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3)

又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC= (x+1)(﹣x2+2x+3)+ (﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣ ×3×3

=﹣ x2+ x+3

=﹣ (x﹣ )2+

∴△APC的面积的最大值为 .

点评： 本题考查了二次函数综合题.解答(3)题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解.

【35. 2012•兰州】

28.如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y= x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x= 上.

(1)求抛物线对应的函数关系式;

(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由;

(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标;

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD 交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值?若存在，求出最大值和此时M点的坐标;若不存在，说明理由.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)根据抛物线y= 经过点B(0，4)，以及顶点在直线x= 上，得出b，c即可;

(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.

(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x= 时，求出y即可;

(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出 ，得到ON= ，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可.

解答： 解：(1)∵抛 物线y= 经过点B(0，4)

∴c=4，

∵顶点在直线x= 上，

∴ ;

∴所求函数关系式为 ;

(2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB= ，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=CD=DA=AB=5，

∴C、D两点的坐标分别 是(5，4)、(2，0)，

当x=5时，y= ，

当x=2时，y= ，

∴点C和点D都在所求抛物线上;

(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

∴ ，

当x= 时，y= ，

∴P( )，

(4)∵MN∥BD，

∴△OMN∽△OBD，

∴ 即 得ON= ，

设对称轴交x于点F，

则 (PF+OM)•OF= ( +t)× ，

∵ ，

( )× = ，

S= (- )，

=- (0

S存在最大值.

由S=- (t- )2+ ，

∴当S= 时，S取最大值是 ，

此时，点M的坐标为(0， ).

点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键.

【36. 2012南通】

28.(本小题满分14分)

如图，经过点A(0，-4)的抛物线y= 1 2x2+bx+c与x轴相交于点B(-0，0)和C，O为坐标原点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将抛物线y= 1 2x2+bx+c向上平移 7 2个单位长度、再向左平移m(m>0 )个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围;

(3)设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长.

【考点】二次函数综合题.

【专题】分类讨论.

【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解.

(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围.

(3)先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长.

【解答】解：(1)将A(0，-4)、B(-2，0)代入抛物线y= 1 2x2+bx+c中，得：

0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0 ，

解得： b=-1 c=-4

∴抛物线的解析式：y= 1 2x2-x-4.

(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：

y= 1 2(x+m)2-(x+m)-4+7 2 ，

即：y= 1 2 x2+(m-1)x+1 2 m2-m-1 2 ;

它的顶点坐标P：(1-m，-1);

由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0);

那么直线AB：y=-2x-4;直线AC：y=x-4;

当点P在直线AB上时，-2(1-m)-4=-1，解得：m=5 2 ;

当点P在直线AC上时，(1-m)-4=-1，解得：m=-2;

∴当点P在△ABC内时，-2

又∵m>0，

∴符合条件的m的取值范围：0

(3)由A(0，-4)、B(4，0)得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形;

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°;

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB;

如图，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM 1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1;

易得：AB2=(-2)2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2;

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6;

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-O A=6-4=2.

综上，AM的长为6或2.

【点评】考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，(3)题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在.

【36. 2012常德】

25、如图11，已知二次函数 的图像过点A(-4，3)，B(4，4).

(1)求二次函数的解析式：

(2)求证：△ACB是直角三角形;

(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请

说明理由。

知识点考察：①二次函数解析式的确定，

②勾股定理及其逆定理的应用，

③相似三角形的性质，

④坐标系中点的坐标的特征，

⑤抛物线与X轴的交点，⑥一元二次方程的解法，

⑦垂直的定义。

⑧二元一次方程组的解法。

能力考察：①观察能力，②逻辑思维与推理能力，③书写表达能力，

④综合运用知识的能力，⑤分类讨论的能力。⑥动点的探求能力

⑦准确的计算能力。

分析：①求二次函数的解析式，也就是要求 中a、b的值，

只要把A(-4，3)，B(4，4)代人即可。

②求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用

勾股定理及其逆定理去考察。

③是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?先要选择一点P

然后自P点作垂线构成Rt△PHD，把两个三角形相似作条件，运用三角形

相似的性质去构建关于P点横坐标的方程。

解：(1)将A(-4，3)，B(4，4)代人 中，整理得：

解得

∴二次函数的解析式为： ，

整理得：

(2)由 整理

∴X1=-2 ，X2= ∴C (-2，0) D

从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65

AB2=64+1=65

∴ AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形

(3)设 (X<0)

PH= HD= AC= BC=

①当△PHD∽△ACB时有：

即： 整理

∴ (舍去)此时，

∴

②当△DHP∽△ACB时有：

即： 整理

∴ (舍去)此时，

∴

综上所述，满足条件的点有两个即

点评：这是一个二次函数开放性的综合题，解决问题的思路容易建立，切入点也好找，

但运算难度较大。出题的老师看准了我们的学生在学习中存在的问题，那就是

每一个学生在计算时无论简单与复杂总是离不开计算器，所以遇到分数运算时

没有信心进行运算，最后还是放弃了。因此在这里要提醒每一位学生在平时计

算的练习中多用心算和笔算，才能提高自己的运算能力。

【37. 2012 荆门】

24. 如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(﹣1，0)，E(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1).

将E(0，3)代入上式，解得：a=﹣1.

∴y=﹣x2+2x+3.

则点B(1，4).

(2)证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= =3 .

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = .

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.

∴AB是△ABE外接圆的直径.

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE.

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°.

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB.

∴CB是△ABE外接圆的切线.

(3)解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= ;

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形;

①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合;

由D(﹣1，0)、E(0，3)，得OD=1、OE=3，即tan∠DEO= =tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为(0，0).

②DE为短直角边时，P2在x轴上;

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE= ;

而DE= = ，则DP2=DE÷sin∠DP2E= ÷ =10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2(9，0);

③DE为长直角边时，点P3在y轴上;

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE= ;

则EP3=DE÷cos∠DEP3= ÷ = ，OP3=EP3﹣OE= ;

综上，得：P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，﹣ ).

(4)解：设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3，0)，B(1，4)代入，得 解得

∴y=﹣2x+6.

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3).

情况一：如图2，当0

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.

由△AHD∽△FHM，得 ，即 .

解得HK=2t.

∴S阴=S△MND﹣S△GNA﹣S△HAD= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t•2t=﹣ t2+3t.

情况二：如图3，当

由△IQA∽△IPF，得 .即 ，

解得IQ=2(3﹣t).

∴S阴=S△IQA﹣S△VQA= ×(3﹣t)×2(3﹣t)﹣ (3﹣t)2= (3﹣t)2= t2﹣3t+ .

综上所述：s= .

【39. 2012•黔东南州】

24.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大?若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

解析：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x﹣3)，则：

a(0+1)(0﹣3)=3，a=﹣1;

∴抛物线的解析式：y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.

(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，

解得 ;

故直线BC的解析式：y=﹣x+3.

已知点M的横坐标为m，则M(m，﹣m+3)、N(m，﹣m2+2m+3);

∴故N=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0

(3)如图;

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN(OD+DB)= MN•OB，

∴S△BNC= (﹣m2+3m)•3=﹣ (m﹣ )2+ (0

∴当m= 时，△BNC的面积最大，最大值为 .

【40. 2012广东珠海】

21. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB= ，DC= ，高CE= ，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G;当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒.

(1)填空：∠AHB=　 　;AC=　 ;

(2)若S2=3S1，求x;

(3)设S2=mS1，求m的变化范围.

解：(1)过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，

∵CD∥AB，

∴四边形DBKC是平行四边形，

∴BK=CD= ，CK=BD，

∴AK=AB+BK=3 + =4 ，

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴BD=AC，

∴AC=CK，

∴BK=EK= AK=2 =CE，

∵CE是高，

∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，

∴∠ACK=90°，

∴∠AHB=∠ACK=90°，

∴AC=AK•cos45°=4 × =4;

故答案为：90°，4;

(2)直线移动有两种情况：0

①当0

∵MN∥BD，

∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG，

∴ =4，

∴S2=4S1≠3S1;

②当 ≤x≤2时，

∵AB∥CD，

∴△ABH∽△CDH，

∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，

∴CH=DH= AC=1，AH═BH=4﹣1=3，

∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，

∴S△BCD= ×4×1=2，

∵RQ∥BD，

∴△CRQ∽△CDB，

∴S△CRQ=2×( )2=8(2﹣x)2，

∵S梯形ABCD= (AB+CD)•CE= ×(3 + )×2 =8，S△ABD= AB•CE= ×3 ×2 =6，

∵MN∥BD，

∴△AMN∽△ADB，

∴ ，

∴S1= x2，S2=8﹣8(2﹣x)2，

∵S2=3S1，

∴8﹣8(2﹣x)2=3× x2，

解得：x1= < (舍去)，x2=2，

∴x的值为2;

(3)由(2)得：

当0

当 ≤x≤2时，

∵S2=mS1，

∴m= = =﹣ + ﹣12=﹣36( ﹣ )2+4，

∴m是 的二次函数，当 ≤x≤2时，即当 ≤ ≤ 时，m随 的增大而增大，

∴当x= 时，m最大，最大值为4，

当x=2时，m最小，最小值为3，

∴m的变化范围为：3≤m≤4.

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