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2012年各地中考数学压轴题精品题选编

1(乐山)如图14，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n， )，

抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C.已知实数m、

n(m

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、

B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点

(点D在 轴右侧)，连结OD、BD.

① 当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标;

② 求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D

的坐标.

解(1)解方程 ，得 ， .

∵ ，∴ ， ………………………………………………(1分)

∴A(-1，-1)，B(3，-3).

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为 .

∴ 解得 ， .

∴抛物线的解析式为 . ………………………………(4分)

(2)①设直线AB的解析式为 .

∴ 解得 ， .

∴直线AB的解析式为 .

∴C点坐标为(0， ).………………(6分)

∵直线OB过点O(0，0)，B(3，-3)，

∴直线OB的解析式为 .

∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.

设 ， ，

(i)当OC=OP时, .

解得 ， (舍去). ∴ P ( ， ).

(ii)当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴ ( ， .

(iii)当OC=PC时，由 ，

解得 ， (舍去). ∴ P ( .

∴P点坐标为P ( , )或 ( , 或P ( .…(9分)

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.

设Q( ， )，D( ， ).

=

= = ，

∵0< <3，

∴当 时，S取得最大值为 ，此时D( ， .………………(13分)

2.(东营)已知抛物线 经过A(2，0). 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.

(1)求b的值，求出点P、点B的坐标;

(2)如图，在直线 y= x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形?若存在，求出点D的坐标;若不存在，请说明理由;

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在，试说明理由.

3(黄石)已知抛物线 的函数解析式为 ，若抛物线 经过点 ，方程 的两根为 ， ，且 。

(1)求抛物线 的顶点坐标.

(2)已知实数 ，请证明： ≥ ,并说明 为何值时才会有 .

(3)若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线 ，设 ， 是 上的两个不同点，且满足： ， ， .请你用含有 的表达式表示出△ 的面积 ，并求出 的最小值及 取最小值时一次函数 的函数解析式。

(参考公式：在平面直角坐标系中，若 ， ，则 ， 两点间的距离为 )

解：(1)∵抛物线过(0,-3)点，∴-3a=-3

∴a=1 ……………………………………1分

∴y=x2+bx-3

∵x2+bx-3=0的两根为x1,x2且 =4

∴ =4且b<0

∴b=-2 ……………………1分

∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4

∴抛物线C1的顶点坐标为(1，-4) ………………………1分

(2)∵x>0，∴

∴ 显然当x=1时，才有 ………………………2分

(3)方法一：由平移知识易得C2的解析式为：y=x2 ………………………1分

∴A(m，m2)，B(n，n2)

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA2+OB2=AB2

∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2

化简得：m n=-1 ……………………1分

∵SΔAOB= =

∵m n=-1

∴SΔAOB=

=

∴SΔAOB的最小值为1，此时m=1,A(1,1)　　　……………………2分

∴直线OA的一次函数解析式为y=x　　　　　　　……………………1分

方法二：由题意可求抛物线 的解析式为： (1分)

∴ ，

过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则

由 得

即

∴ (1分)

∴

∴

由(2)知：

∴

当且仅当 ， 取得最小值1

此时 的坐标为(1，1) (2分)

∴一次函数 的解析式为 (1分)

4.(张家界) 如同，抛物线 与 轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.

(1) 分别求出点A、点B的坐标

(2) 求直线AB的解析式

(3) 若反比例函数 的图像过点D，求 值.

(4)两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、

AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q

每秒移动 个单位，设△POQ的面积为S，移动时间

为t,问：S是否存在最大值?若存在，求出这个最大值，

并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.

5(泉州). 如图，点O为坐标原点，直线 绕着点A(0,2)旋转，与经过点C(0,1)的二次函数 交于不同的两点P、Q.

(1).求h的值;

(2).通过操作、观察算出△POQ面积的最小值;

(3).过点P、C作直线，与 轴交于点B，试问：在直线 的旋转过程中四边形AOBQ是否为梯形，若是，请说明理由;若不是，请指明其形状.

解：(1).0,1)带入二次函数 中，得 ; A

(2). 操作、观察可知当直线 ∥ 轴时，其面积最小; C Q

将y=2带入二次函数 中，得 ，

S最小=(2×4)÷2=4. B

(3)由特殊到一般：

一、如图①所示，当直线 ∥ 轴时，四边形AOBQ为正方形。 O

可知BO=AQ=2;∠AOB=90°，故四边形AOBQ为正方形。

二、如图二，当直线 不平行与 轴时，四边形AOBQ为梯形。

连接BQ，设P( )， Q( );( )

直线BC： 过低点P,即 ，得 ;

;点B为( );同理直线 ： ;

; ;得b= ;

所以点Q、P同横坐标，即为AC∥BQ，且AQ不与OB平行;

故四边形AOBQ为梯形。

6(荆门)如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE.已知tan∠CBE= ，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线;

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由;

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0

(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+1).

将E(0，3)代入上式，解得：a=-1.

∴y=-x2+2x+3.

则点B(1，4).…………………………………………………………………………………2分

(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4).

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE= =3 .

在Rt△EMB中，EM=OM-OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = .

∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°.

∴AB是△ABE外接圆的直径.………………………………………………………………3分

在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE.

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°.

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB.

∴CB是△ABE外接圆的切线.………………………………………………………………5分

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，- ).………………………………………………………8分

(4)解：设直线AB的解析式为y=kx+b.

将A(3，0)，B(1，4)代入，得 解得

∴y=-2x+6.

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F( ，3).…………9分

情况一：如图7，当0

则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L.

由△AHD∽△FHM，得 .即 .解得HK=2t.

∴S阴=S△MND-S△GNA-S△HAD= ×3×3- (3-t)2- t•2t=- t2+3t.…………11分

情况二：如图8，当

∴S阴=S△IQA-S△VQA= ×(3-t)×2(3-t)- (3-t)2= (3-t)2= t2-3t+ .

综上所述：s= ……………………………………………………12分

7(武汉)如图1，点A为抛物线C1：y= 1 2x2-2的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C.

(1)求点C的坐标;

(2)如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FGE=4∶3，求a的值;

(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值.

8.如图，已知抛物线的方程C1:y=- (x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值.

(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积.

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标.

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为

顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值;若不存在，请说

明理由.

9. (苏州)如图，已知抛物线 与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C.

⑴点B的坐标为 ▲ ，点C的坐标为 ▲ (用含b的代数式表示);

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在，求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由;

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在，求出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.

解：⑴B(b，0)，C(0， );

⑵假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.

设点P坐标(x，y)，连接OP，

则 ，∴ .

过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°. ∴四边形PEOD是矩形. ∴∠EPD=90°.

∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°.

∴∠EPC=∠BPD.

∴△PEC≌△PDB. ∴PE=PD，即x=y.

由 ，解得： .

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ，解得 符合题意.

∴点P坐标为( ， ).

⑶假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB>∠AOQ，∠QAB>∠AQO.

∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴.

∵b>2，∴AB>OA. ∴∠QOA>∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°.

由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA.

∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.

(Ⅰ)当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .

由 得： ，

解得： . ∵ ，∴ ， .

∴点Q坐标为(1， ).

(Ⅱ)当∠OQC=90°时，△QOA≌△OCQ. ∴ ，即 .

又 . ∴ ，即 .

解得：AQ=4，此时b=17>2符合题意. ∴点Q坐标为(1，4).

∴综上可知：存在点Q(1， )或(1，4)，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.

10(临忻).如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.

(1)求点B的坐标;

(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求点P的坐标;若不存在，说明理由.

解：(1)如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，

∴OC= OB= ×4=2，BC=OB•sin60°=4× =2 ，

∴点B的坐标为(-2，-2 ).

(2)∵抛物线过原点O和点A、B，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，

将A(4，0)，B(-2，-2 )代入，得 解得

∴此抛物线的解析式为y=- x2+ x. (3)存在，

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为(2，y)，

①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2 .

当y=2 时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD= = ，∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，

∴y=2 不符合题意，舍去.

∴点P的坐标为(2，-2 );

②若OB=PB，则42+|y+2 |2=42，解得y=-2 ，故点P的坐标为(2，-2 );

③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2 |2，解得y=-2 ，故点P的坐标为(2，-2 ).

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，-2 ).

11(梅州)如图，矩形OABC中，A(6,0)、C(0,23)、D(0,33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°。

(1)①点B的坐标是 ;②∠CAO= 度;③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ;(直接写出答案)

(2)设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使⊿AMN为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的横坐标为m，若不存在，请说明理由。

(3)设点P的横坐标为x，⊿OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围。

(备用图)

(1)(6,23)，30，(3,33)

(2)情况①：MN=AN，此时m=0

情况②，如图AM=AN 作MJ⊥x轴、PI⊥x轴;MJ=MQ●sin60°= AQ●sin60°=(OA-IQ-OI) ●sin60°= 32(3-m)=12AM= 12AN=32，可得32(3-m)= 32，得m=3-3

情况③ AM=NM，此时M的横坐标是4.5，m=2

(3)当0≤x≤3时，如图，OI=x，IQ=PI●tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x;

由题意可知直线l//BC//OA，可得EFOQ=PEPO=DCDO=333=13，EF=13(3+x)，此时重叠部分是梯形，其面积为：

S梯形=12(EF+OQ)OC=433(3+x)

当3

当5

当9

12(2012菏泽)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式;

(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在，请求出P的坐标;若不存在，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.

考点：二次函数综合题。

解答：解：(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，

又A(0，1)，B(2，0)，O(0，0)，

∴A′(﹣1，0)，B′(0，2).

设抛物线的解析式为： ，

∵抛物线经过点A′、B′、B，

，解之得 ，

满足条件的抛物线的解析式为 ..

(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P(x，y)，则x>0，y>0，P点坐标满足 .

连接PB，PO，PB′，

.

假设四边形 的面积是 面积的 倍，则

，

即 ，解之得 ，此时 ，即 .

∴存在点P(1，2)，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

(3)四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可.

①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;

③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.

或用符号表示：

①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.

13(2012•烟台)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P，Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大?最大值为多少?

(3)在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

解：(1)A(1，4).…(1分)

由题意知，可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4

∵抛物线过点C(3，0)，

∴0=a(3﹣1)2+4，

解得，a=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4，即y=﹣x2+2x+3.…(2分)

(2)∵A(1，4)，C(3，0)，

∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.

∵点P(1，4﹣t).…(3分)?

∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+ .…(4分)

∴点G的横坐标为1+ ，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣ .

∴GE=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ .…(5分)

又点A到GE的距离为 ，C到GE的距离为2﹣ ，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG= •EG• + •EG(2﹣ )

= •2(t﹣ )=﹣ (t﹣2)2+1.…(7分)

当t=2时，S△ACG的最大值为1.…(8分)

(3)t= 或t=20﹣8 .…(12分)

(说明：每值各占(2分)，多出的值未舍去，每个扣1分)

14(凉州)如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线 经过 、 两点，并与 轴交于另一点 (点 点 的右侧)，点 是抛物线上一动点。

(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;

(2)若点P在第二象限内，过点P作 轴于 ，交 于点 。当点 运动到什么位置时，线段 最长?此时 等于多少?

(3)如果平行于 轴的动直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，点 为 的中点，那么是否存在这样的直线 ，使得 是等腰三角形?若存在，请求出点 的坐标;若不存在，请说明理由。

15(南充).如图，⊙C的内接△AOB中.AB=AO= 4，tan∠AOB= ，抛物线 经过点A(4，0)与点(-2，6)，

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时 动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动;点P的速度为每秒l个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值;

(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标，

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