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1.如图：抛物线经过A(-3，0)、B(0，4)、C(4，0)三点.

(1) 求抛物线的解析式.

(2)已知AD = AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值;

(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由。

(注：抛物线 的对称轴为 )

解：设抛物线的解析式为 ，

依题意得：c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为 (2)连接DQ，在Rt△AOB中， 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB

因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB

所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 – = ，

所以t的值是 (3)答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小

理由：因为抛物线的对称轴为 所以A(- 3，0)，C(4，0)两点关于直线 对称连接AQ交直线 于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO 即 所以QE= ，DE= ，所以OE = OD + DE=2+ = ，所以Q( ， )

设直线AQ的解析式为 则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M 则：在对称轴上存在点M ，使MQ+MC的值最小。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，

OB=OC ，tan∠ACO= .

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出点F的坐标;若不存在，请说明理由.

(3)如图10，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

(1)由已知得：C(0，-3)，A(-1，0) …1分

将A、B、C三点的坐标代入得 ……………………2分

解得： ……………………3分

所以这个二次函数的表达式为： ……………………3分

(2)存在，F点的坐标为(2，-3) ……………………4分

理由：易得D(1，-4)，所以直线CD的解析式为： ∴E点的坐标为(-3，0) ……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为(2，-3) ……………………5分

(3)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G(2，-3)，直线AG为 .……………8分

设P(x， )，则Q(x，-x-1)，PQ .

……………………9分

当 时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为 ， . ……………………10分

3.如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。

⑴求抛物线的解析式;

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

⑴∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，

∴设抛物线解析式为 ………1分

根据题意，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为 ………………………………………2分

⑵存在。…………………………………………………………………………3分

由 得，D点坐标为(1，4)，对称轴为x=1。…………4分

①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得 ，即y=4-x。…………………………5分

又P点(x,y)在抛物线上，∴ ，即 …………6分

解得 ， ，应舍去。∴ 。……………………7分

∴ ，即点P坐标为 。……………………8分

②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)。

∴符合条件的点P坐标为 或(2，3)。……………………9分

⑶由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根据勾股定理,

得CB= ,CD= ,BD= ,………………………………………………10分

∴ ,

∴∠BCD=90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1,

∴∠CDF=45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2，3)，

∴DM∥BC,

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………12分

由∠BCD=90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M的坐标为(2，3)。……………13分

4.已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OB

(1)求A、B、C三点的坐标;

(2)求此抛物线的表达式;

(3)求△ABC的面积;

(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;

(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状;若不存在，请说明理由.

解：(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB

∴点B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，8)

又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2

∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6，0)

∴A、B、C三点的坐标分别是A(-6，0)、B(2，0)、C(0，8)

(2)∵点C(0，8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上

∴c=8，将A(-6，0)、B(2，0)代入表达式y=ax2+bx+8，得

解得

∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8

(3)∵AB=8，OC=8

∴S△ABC =×8×8=32

(4)依题意，AE=m，则BE=8-m，

∵OA=6，OC=8， ∴AC=10

∵EF∥AC　 ∴△BEF∽△BAC

∴=　　即= ∴EF=

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

∴=　 ∴FG=·=8-m

∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m)

=(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m

自变量m的取值范围是0

(5)存在. 理由：

∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8　　且-<0，

∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8

∵m=4，∴点E的坐标为(-2，0)

∴△BCE为等腰三角形.

5.已知抛物线 与 轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C.

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 轴的另一个交点B的坐标;

⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式;

⑶坐标平面内是否存在点 ，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.

解：⑴对称轴是直线： ，点B的坐标是(3,0). ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分.

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB=4.∴ 在Rt△POC中，∵OP=PA-OA=2-1=1，

∴ ∴b= ………………………………3分

当 时， ∴ 　 ………………………………4分

∴ …………5分

⑶存在.……………………………6分

理由：如图，连接AC、BC.设点M的坐标为 .

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB.

由⑵知，AB=4，∴|x|=4， .

∴x=±4.∴点M的坐标为 .…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分.

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方.

过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90°.

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB.

∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1，MN=CO= .

∵OB=3，∴0N=3-1=2.

∴点M的坐标为 . ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分.

综上所述，坐标平面内存在点 ，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为 .

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