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A级　基础题

1.(2013年新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为(　　)

A.12 B.15 C.12或15 D.18

2.(2013年湖北武汉)在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是(　　)

A.18° B.24° C.30° D.36°

3.(2010年广东深圳)如图4­2­37，在△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是(　　)

A.40° B.35° C.25° D.20°

4.(2013年山东德州)如图4­2­38，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为(　　)

A. 68° B.32° C. 22° D.16°

5.(2013年山东滨州)在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为________.

6.(2013年山东泰安)如图4­2­39，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是________.

7.(2012年吉林)如图4­2­40，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=________.

8.(2011年江苏无锡)如图4­2­41，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5 cm，则EF=________ cm.

9.(2013年福建莆田)图4­2­42是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是________.

10.(2013年湖北荆门)如图4­2­43(1)，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.

(1)求证：BE=CE;

(2)若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图4­2­43(2)，∠BAC=45°，原题设其他条件不变.求证：△AEF≌△BCF.

B级　中等题

11.(2013年浙江绍兴)所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是__________.

12.(2013年湖北襄阳)在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图4­2­45所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是______________.

13.(2013年辽宁沈阳)如图4­2­46，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.

(1)求证：BF=2AE;

(2)若CD=2，求AD的长.

C级　拔尖题

14.(2013年江西)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

[操作发现]

在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(1)，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论：①AF=AG=12AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.其中正确的是____________(填序号即可).

[数学思考]

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(2)，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程.

[类比探索]

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图4­2­47(3)，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状.

答：____________________.

(1)　　　 　　 (2)　　 　　　 (3)

等腰三角形与直角三角形

1.B　2.A　3.C　4.B

5.2 6　6.2　7.2　8.5　9.10

10.证明：(1)∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAE=∠CAE.

在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，

∴△ABE≌△ACE(SAS).

∴BE=CE.

(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形.∴AF=BF.

由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF.

在△AEF和△BCF中，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∠EAF=∠CBF，

∴△AEF≌△BCF.

11.12°　解析：设∠A=x.∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x.∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，∴x=12°.即∠A=12°. X Kb 1. C om

12.2 13或6 2　解析：如图17(1)，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线.在Rt△ABD中，可得BD=13，∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是2 13;如图17(2)，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC=3 2，∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是6 2.

(1) 　　　　 (2)

图17

13.(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠CBE.

又∵∠CDA=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF(ASA).∴AC=BF.

∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=EC，即AC=2AE，

∴BF=2AE.

(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2.

∴在Rt△CDF中，CF=DF2+CD2=2.

∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=FC=2.

∴AD=AF+DF=2+2.

14.解：[操作发现]①②③④

[数学思考]MD=ME，MD⊥ME.证明如下：

图18

①MD=ME.

如图18，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，

∵M是BC的中点，

∴MF∥AC，MF=12AC.

又∵EG是等腰直角三角形AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC，且EG=12AC.

∴MF=EG.

同理可证DF=MG.

∵MF∥AC，

∴∠MFA+∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°.

∴∠MFA=∠MGA.

又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°.

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA，

即∠DFM=∠MGE.又MF=EG，DF=MG，

∴△DFM≌△MGE(SAS).∴MD=ME.

②MD⊥ME.

如图18，设MD与AB交于点H，

∵AB∥MG，∴∠DHA=∠DMG.

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH，

即∠DHA=∠FDM+90°.

∵∠DMG=∠DME+∠GME，∴∠DME=90°.

即MD⊥ME.

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