7.(2014•四川宜宾，第21题，8分)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4.

(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L.

(2)已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值.

考点： 规律型：图形的变化类;三元一次方程组的应用

分析： (1)理解题意，观察图形，即可求得结论;

(2)根据格点多边形的面积S=N+aL+b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S.

解答： 解：(1)观察图形，可得S=3，N=1，L=6;

(Ⅱ)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S、N、L的值可得，

，

解得a ，

∴S=N+L﹣1，

将N=82，L=38代入可得S=82+×38﹣1=100.

点评： 此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题.

8.(2014•甘肃兰州,第27题10分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称;

(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°.

①求证：△BCE是等边三角形;

②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.

考点： 四边形综合题.

分析： (1)根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形;

(2)①首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形;

②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解.

解答： 解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可;

证明：(2)①∵△ABC≌△DBE，

∴BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴△BCE是等边三角形;

②∵△ABC≌△DBE，

∴BE=BC，AC=ED;

∴△BCE为等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

DC2+CE2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2.

点评： 此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目.

9. (2014•扬州，第26题，10分)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)= (其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)= =B.

(1)已知T(1，﹣1)=﹣2，T(4，2)=1.

①求a，b的值;

②若关于m的不等式组 恰好有3个整数解，求实数p的取值范围;

(2)若T(x，y)=T(y，x)对任意实数x，y都成立(这里T(x，y)和T(y，x)均有意义)，则a，b应满足怎样的关系式?

考点： 分式的混合运算;解二元一次方程组;一元一次不等式组的整数解

分析： (1)①已知两对值代入T中计算求出a与b的值;

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可;

(2)由T(x，y)=T(y，x)列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式.

解答： 解：(1)①根据题意得：T(1，﹣1)= =﹣2，即a﹣b=﹣2;

T=(4，2)= =1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3;

②根据题意得： ，

由①得：m≥﹣ ;

由②得：m< ，

∴不等式组的解集为﹣ ≤m< ，

∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，

∴2≤ <3，

解得：﹣2≤p<﹣ ;

(2)由T(x，y)=T(y，x)，得到 = ，

整理得：(x2﹣y2)(2b﹣a)=0，

∵T(x，y)=T(y，x)对任意实数x，y都成立，

∴2b﹣a=0，即a=2B.

点评： 此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键.