2014年教师资格《保教知识与能力》考点精讲38
第二节 小学数学
一、数学概述 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关.随着现代信息技术的飞速发展.数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具.不仅是自然科学和技术科学的基础.而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。
数学的基本特性：抽象性、严谨性、运用的广泛性。
数学精神是人们在数学活动中形成的价值观念和行为规范。其内涵丰富，主要有数学理性、求真、创新、合作与独立思考精神。数学精神是科学精神的基础，是数学基础知识的灵魂。
数学思想和方法是在研究数学和用数学解决问题中形成的，最基本的有：功利化结构、对应、变量、集合、极限、统计思想及化归、假设、模型、数形结合等方法。数学思想是方法的精神实质与理论基础.方法是思想的技术与操作程式。
数学思维的一般方法有：比较与分类、分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎、类比与联想。逻辑思维是数学思维的核心，其基本形式是概念、判断、推理。培养数学思维是实现数学素养发展的基本点。数学素养的基本内涵：(1)懂得数学的价值;(2)对自己的数学能力有信心;(3)有解决现实数学问题的能力：(4)学会数学交流;(5)学会数学的思想方法
二、我国小学数学课程演变的历史沿革 我国是世界文明古国之一，数学教育有着悠久的历史.早在周代的学校教学科目“六艺”中就有“数”。春秋战国时期。诸子百家大多带徒讲学，其中或多或少包含着数学的知识内容。秦汉时期，相继出现了《周髀算经》和《九章算术》，这是我国最早使用的数学教材。到了唐代，当时的最高学府国子监中设有算学馆。为了教学的需要，由李淳凤等人审定并注释了汉朝以来的十部算经，统称《算经十书》，作为教学用书，并由唐高宗下令定为全国通用的数学教材。这是我国国家审定数学教科书的开端。以《九章算术》为代表的《算经十书》是我国古代数学的经典教材，前后流行1200余年，对中国的数学教育产生了深远的影响。其最大的特点，一是以问题为线索，按照由问题归纳“术”的方式进行研究;二是提倡实用，注重计算技能的培养。
尽管我国古代的数学教学有数千年的历史，但由于统治者对小学教育采用放教于民间的办法，所以按照现代的学制、课程概念来看，我国真正在小学设置算术课程，始于清朝末年，比很多国家要晚。
(一)清末民初至新中国成立前
1904年，清朝政府颁布了仿日本学制而制定的《奏定学堂章程》，即癸卯学制，这是我国近代教育史上第一个正式颁布并在全国实行的学制。其中《奏定初等小学堂章程》中规定：“算术，其要义在使知日用之计算.与以自谋生计必须之知识。兼使精细其心思，以便将来寻常实业之用。”同期颁布的《奏定高等小学堂章程》中也有类似的规定。清末的小学算术教材，以模仿日本教材为主，而且内容极为简单。初等小学堂修业五年，“先就百以内数示以加减乘除之方，使之纯熟无误，然后渐加其数至万止.兼及小数：并宜授以珠算”。高等小学堂修业四年，则“授以复杂之算术”，内容主要有度量衡、货币及时间的计算。小数、分数、百分数，以及比例、求积、日常簿记。辛亥革命以后，小学学制改为初小四年，高小三年。1912年公布的《小学校教则及课程表》中规定：“算术要旨，在使儿童熟习日常之计算，增长生活必需之知识，兼使思虑精确。”算术的教学内容较清末变化不大，只是改用七年学完。当时各书局所编教材很杂，大多沿袭日本、美国教材的编排体系，教学内容深浅不一。以后几十年，多次颁布、修订的《小学课程标准》中，关于小学算术课程的目标，大同小异，基本上都是：
1.增进儿童日常生活中关于数量的常识和观念：
2.培养儿童日常生活中的计算能力
3.养成计算敏捷和准确的习惯。
三项目标比较具体、明确，也明显反映出受美国教育家杜威的实用主义教育思想影响，强调以儿童生活为中心。这在当时是一种进步，而且重视儿童的特点与儿童的主体性，至今仍有积极意义。在这期间，小学学制改为六年。曾经一年级，甚至一二年级不设算术科，采用以儿童活动为主的方式“随机教学”。即在游戏活动或其他学科中遇到需要时就随机教一点算术知识，例如认数、记数，求一共多少，比较长短、大小、高低、远近，区分方圆等。相应的教材以图为主。由于随机教学系统性差，难以保证必要的练习.所以教学效果并不理想。当时所用教材和清末民初一样，仍以个人编写为主，版本不一。多数教材编排上直线式、螺旋式兼有，笔算与心算并重，珠算则单编成册。
(二)新中国成立以来
建国以来，国家十分重视学校课程教材的建设，小学算术(数学)课程标准(教学大纲)已经先后颁布了八份。这一系列的修订工作，反映了社会发展对人才培养的需要，概括了小学数学教学改革的主要成果。与此同时.教材编写工作也经历了多次改革，取得了很大的成绩，为人才培养起到重要的作用。回顾这段历程，大致可以分为七个各具主要特征的发展阶段。
1.百废待兴
建国初期，国家首先于l950年颁布了《小学算术课程暂行标准(草案)》，其中规定小学算术课程目标是：一、增进儿童关于新社会日常生活中数量的正确观念和常识。二、指导儿童具有正确和敏捷的计算技术和能力。三、训练儿童善于运用思考、推理、分析、综合和钻研问题的方法和习惯。四、培养儿童爱国主义思想.并加强爱科学、爱护公共财物等国民公德。”这四项目标，知识、能力、方法、习惯和思想教育都提到了，比较全面，体现了社会主义教育与旧教育的不同。它表明我国第一部小学算术课程标准就达到一定的水平。它的不足主要是，几何初步知识的教学目标、空间观念与解决实际问题的能力没有明确提出。当时百废待兴，没有来得及据此编写全国统一的教材加以全面贯彻。于是采取临时措施.确定了两套选用课本。后又换成一套，并作了一些修改。
2.学习苏联
五十年代初，学习苏联，把各科的课程标准改称“教学大纲”，在1952年底颁布了《小学算术教学大纲(草案)》。这部大纲是参考当时苏联的小学算术教学大纲，为我国的五年一贯制小学制定的。关于教学任务的规定是：“小学算术教学的任务，是保证儿童自觉地和巩固地掌握算参知识和直观几何知识.并使他们获得实际应用这些知识的技能。算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维，使他们理解数量和数量之间的相依关系，并能作出正确的判断。”这部大纲，第一次确立了直观几何知识在我国小学算术课程中的地位。但对教学任务的概括不如1950年课程标准的目标那么全面。一年后，由于师资
等条件准备不足，暂时停止推行五年一贯制，恢复初小四年、高小二年。根据“四、二制小学的教学计，对前一部教学大纲进行了修订，在1956年颁布了《小学算术教学大纲(修订草案)》。该大纲指出：小学算术教学的目的，主要是使儿童能够自觉地、正确地和迅速地进行整数运算，能够用已经获得的知识、技能和技巧去解答算术应用题和解决日常生活中简单的计算问题。算术教学必须有助于儿童智慧的发展和道德品质的培养，以促进全面发展的教育任务的实现。算术的学习应该做到使数和量成为儿童认识周围现实的工具。”这一修订草案第一次提到了“全面发展的教育”。但是，这个时期内两个教学大纲的最大缺点，就是过低估计我国儿童的智力发展水平，不顾国情，机械照搬外国经验，把当时苏联小学(只有四年)的教学内容拉成五年、六年教学。从l952年起，人民教育出版社根据同年颁布的教学大纲，以苏联教材为蓝本编写新教材，到l955年编完全套课本(包括珠算)，开创了我国有一个统一的教材体系的新局面。这套新编课本与旧的算术课本相比，系统性、科学性和思想性都有了明显的进步，同时加强了口算，也比较重视数学概念和规律性知识的教学。但是，在内容上六年只教完整数四则计算和简单的小数、分数加减法，降低了小学算术的程度。当时我国大多数小学毕业生不能升入初中.而要直接参加生产劳动，但他们掌握的数学知识却很少，不能满足实际需要。在编排上重复过多.特别是整数部分，安排了七个循环圈，忽视我国的记数特点，生搬硬套地加上“千”的循环圈，没有必要。在编写上采用习题汇编形式，例题、习题不易分清，给教学带来不便。
3.小学教完算术
随着我国社会主义革命和社会主义建设的发展，越来越反映出小学算术的教学内容脱离实际需要。l958年，人民教育出版社根据教育部的有关指示，对原教材各年级的教学内容加以适当的精简.然后进行必要的补充，三年之内全部补完，并编辑出版了各册的暂用本。这套暂用教材虽然是临时性的，却是小学算术教学改革的重要转折点。首先，把初中算术下放到小学，提高了小学毕业生的数学水平，初步克服了学习外国经验中的教条主义错误。其次，在全国城乡使用这套暂用教材.初步证明了小学六年学完全部算术基本内容是可能的，从而解除了对小学教完算术能否保证质量的担心和疑虑.结束了长期以来初中开设一年算术课的局面。第三，改进了教材的编写形式，把讲解的内容和练习题分开，方便教师研究教材和进行教学。此外，还精简了一些不必要的内容，并在初小增加了几何初步知识。由于这套暂用教材带有临时性，主要解决初中算术内容移到小学的问题.其他方面来不及深入研究，因此还存在一些问题，特别是还没有完全克服学习外国经验时结合中国国情不够的缺点。
4.加强“双基”教学
1958年以后，各地根据中共中央关于教学必须改革的指示，按照适当提高程度.适当缩短学制的精神，在开展学制和教材改革试验方面，做了一些大胆的、有益的尝试。但存在着“程度偏高，内容偏深，在结合实际和政治方面有片面性”等不足。
1960年起，人民教育出版社在总结建国以来编写数学教材的经验教训.研究各地改革实验得失的基础上，于l961年编出《十年制学校小学课本算术(试用本)》共十册和《珠算(试用本)》一册。这套新教材不仅对教学内容作了一些调整，对教材的编排体系也作了一些改进。例如，减少整数的循环，根据我国的计数特点划分为“20以内”、“百以内”、“万以内”、“万以上”四个段落，每个段落各有重点：提早几何初步知识的教学，从第四册起。每册适当安排一些几何内容，并注意与计算的联系。从试用情况来看，教学效果比较好，得到了大家的肯定。因此，这套试用本的编成，不仅为缩短学制创造了有利的条件，而且为以后的算术教学改革开辟了道路，提供有益的经验。
以后，人民教育出版社又着手重新编写十二年制学校算术课本，经少数学校试教，作出修改，1963年秋开始正式使用。同年，在总结各地教改经验和课程教材建设经验的基础上.制订颁发了六年制的
《全日制小学算术教学大纲(草案)》。该大纲指出：“小学算术教学的目的是使学生牢固地掌握算术和珠算的基础知识，培养学生正确地、迅速地进行四则计算的能力，正确地解答应用题的能力，以及具有初步的逻辑推理能力和空间观念，以适应他们毕业后参加生产劳动和进一步学习的需要。”
与前面几部大纲相比.这次规定的教学目的比较明确.比较纫合我国当时大多数地区的实际情况，而且，第一次提出了培养学生空间观念的要求。但把培养逻辑思维能力表述为培养逻辑推理能力，有一定的局限性。这部大纲和相应的课本主要进行了以下一些改革，一是加强基础知识，提高了程度。重新编人暂用本或试用本中删减不当的内容，如运算定律和运算性质，最大公约数的求法，圆锥的体积等。另外还增加了棱柱和棱锥的体积、复比例、一些典型应用题和记账初步知识。二是建立了“以四则计算为中心,其他各方面的内容.配合着四则计算进行安排”的小学算术教材体系。在十年制学校算术试用本减少整数循环的基础上，根据十二年制学校小学六年的特点，构建了新的整数、小数、分数的教材结构。即把整数在初小安排四个循环圈，到高小(五年级)再加以概括和提高;把小数、分数各划分为两段.初小只限于初步认识，高小再系统讲授。三是加强数学知识的科学性、系统性、严密性。四是加强基本技能的训练，
安排的练习题比较多。这部大纲、课本的编成，不仅对提高60年代小学算术教学质量起着重要作用.而且对后来的教学改革产生了重要的影响。但是，这套大纲、课本也存在一些缺点.主要是程度偏高。分量较重，增加了一些并不十分必要的传统内容，有些计算和应用题偏于繁难;在加强“双基”教学的同时，对学生们能力的培养注意得不够：对思想品德教育，大纲中未提，课文中也有所削弱。另外,“以四则计算为中心”的内容体系，客观上将数与形的基础知识作为计算的辅助物。这种为计算而教的算术教学思想，至今仍有影响。
5.适应现代化建设
文化大革命后，为了适应四个现代化建设的需要，l978年颁布的《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》,遵照邓小平同志关于教材要“按照中小学生所能接受的程度，用先进的科学知识充实中小学的教育内容”的指示.在认真分析、吸取了国内外近几十年来数学教学改革经验教训的基础上，本着既要积极，又要稳妥的改革精神，对教学内容作了调整、充实和更新，成为我国历史上第一部把小学算术课程拓展为小学数学课程的大纲。该大纲提出的教学目的是：“使学生理解和掌握数量关系和空间形式的最基础的知识，能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则计算，初步了解现代数学中的某些最简单的思想，具有初步的逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学的知识解决日常生活和生产中的简单的实际问题。同时，结合教学内容对学生进行思想政治教育。”这里，第一次从知识、能力和思想教育三个方面明确数学教学的目标。并且第一次提出要在理解的基础上掌握数与形的基础知识。对改进小学数学教学起到了指导作用。但是，其中也有一些提法被以后的教学实践证明是欠妥当的。例如,对于四则计算。不分内容、主次一概要求“迅速”，把“初步了解现代数学中的某些最简单的思想”作为教学目的.与实际教学中结合教学内容自然而然地渗透某些近代数学的基本思想、基本概念的做法不一致。依据这部大纲，人民教育出版社陆续出版了新编《全日制十年制学校小学课本数学(试用本)》。这部大纲和教材，从内容到编排体系都有较大的改进，开创了我国小学数学教育改革的新阶段。首先，采取“精选、增加、渗透”的策略，适当更新教学内容。第一，精选传统的算术内容。对仍是学习现代科学技术所必需的基础知识和基本技能，予以保留，并且保证学好;从发展上看学习意义不大的内容，如繁难的四则计算、应用题等，予以删减。第二，适当增加代数、几何初步知识。包括用字母表示数，简易方程，简单的正负数计算，三角形内角和，轴对称，扇形等。第三，适当渗透集合、函数、统计等数学思想，但不作为正式讲授内容。这样改革的结果，新增内容仅占5%，比较切实可行。其次,合理安排教学内容。比如，在吸收前两套教材的经验，把整数、小数、分数适当分段的基础上，对应教学也适当划分阶段。先教学用算术方法解，到高年级再教学列方程解，同时继续练习用算术方婚，并注意灵活运用。又如，加强数学知识间的联系，主要是加强了数概念与计算间的联系，口算、笔与珠算的相互配合(珠算不再单编一本)，以及数与形的联系，等等。再次，在加强基础知识教学的同注意发展学生智力，培养能力。例如，加强口算教学时注意讲清算理，适当加强简便算法的教学，以提高学生的计算能力;教学应用题时一般不再出现概括性结语，而是着重指出解题思路。以利于培养生的思维能力;几何教学中注意安排观察和动手操作活动，以利于发展学生的空间观念;适当编入除些思考题，以培养学生的钻研精神和灵活思考的能力，但不作为共同要求。
1981年，根据修订的教学计划和各地使用意见，对这套新试用课本作了一些修改。主要是删去正负数及其四则计算;适当调整各册分量，进一步加强知识问的联系，以及学生智力、能力的培养。修改后的课本改称《五年制小学课本数学》。同时，为了适应“小学学制为五年、六年并存”的实际需要，又编辑出版了一套《六年制小学课本数学》，共12册。这套课本在程度上与五年制课本相同，只在编排上作了一些小的调整。从当时来看，这两套教材作了一系列较大的改革，质量比过去有很大提高，成为建国40年中使用时间最长、最稳定的小学数学课本。
1986年，颁布了《全日制小学数学教学大纲》。这是建国以来第一部没有“草案”两字的正式大纲，是在上一部大纲的基础上，根据中央有关文件精神，总结八年来教学实践经验修订而成的。它对小学数学的教学目的作了如下规定：“使学生们理解和掌握数量关系和几何图形的最基础的知识，能够正确地、迅速地进行整数、小数和分数的四则计算，具有初步的逻辑思维能力和空间观念，并能运用所学的知识解决日常生活和生产中的简单的实际问题。同时结合教学内容对学生进行思想品德教育。”与1978年的大纲相比，删去了“初步了解现代数学中的某些最简单的思想”，将“空间形式”改为“几何图形”，将“思想政治教育”改为“思想品德教育”，都更加切合小学数学教学的实际。但对一些牵涉面较大的问题。如能力培养目标等，未作进一步的改进。为了照顾教材的稳定.这部正式大纲在教学内容的安排上，不作大的变动，以便《五年制小学课本数学》、《六年制小学课本数学》能够继续用到义务教育教学大纲的颁布和相应教材的出版。
6.实施义务教育
1992年，按照《中华人民共和国义务教育法》的精神，制定并颁布了《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》。该大纲的鲜明特点是。着力于为全面提高民族素质打好基础，强调面向全体学生，体现了我国教育思想的一大转变。它对教学目的的规定是：“(一)使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础的知识。(二)使学生们具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题。(三)使学生受到思想品德教育。”这三方面的教学目的分项概括，它们的内涵在“教学要求”中逐一阐明，使教学目的比以往的大纲都更加明确、具体，尤其是在培养能力方面。根据计算工具高度发展的趋势，调整了计算能力的要求.有利于减轻学生过重的学习负担：为适应教学需要。对初步的逻辑思维能力和空间观念.以及解决简单实际问题的能力，分别提出了较为具体的要求，便于依照、贯彻。这些改进都有利于更好地发挥教学目的的导向作用。这部大纲对教学内容作了进一步的更新、调整。主要有：精简数据过大、过繁的计算和比较复杂的四则混合运算，删去繁分数，加强中、高年级的口算，并增加估算的内容：代数初步知识增加形如ax+bx=c的方程及相应的应用题;几何初步知识加强测量、画图、拼摆等实际操作;统计初步知识充实数据整理的内容，把平均数列人统计初步知识内。降低绘制统计图的要求，强调会对统计图表进行一些简单的分析;百分数应用题中增加利息的计算等实际问题。这些改进有利于数学教学改革，也有利于适应社会发展的需要。在确定统一教学内容的基础上，大纲还列出了一些选学内容，从而增加了教
学内容的弹性.以适应编写不同层次的教材和因材施教的需要。鉴于我国幅员广大，城市与农村、沿海与内地，经济、文化、教育的发展极不平衡，为了适合各地的不同特点和不同需要，国家教育委员会组织编写了多套系列教材。除了人民教育出版社编写的，面向全国大多数地区，适合一般学校使用的“六三”制和“五四”制教材外，还有由北京师范大学组编、适合一般学校使用的“五四”制教材，由广东省教育委员会和华南师范大学组编的沿海版“六三”制教材，四川省教育委员会和西南师范大学组编的内地版“六三”制教材。此外上海市和浙江省还编写了改革步子更大的，适合经济发达城市和农村使用的实验教材。这就开创了我国义务教育，教材“一纲多本”的新局面。
7.推进素质教育进入世纪之交，面临历史机遇和新的挑战，“科教兴国”成为我国的基本国策。1999年6月，中共中央、国务院作出了《关于深化教育改革，全面推进素质教育的决定》，标志着我国教育将进入一个薪的改革发展阶段。为贯彻中央的决定，全面落实《面向二十一世纪教育振兴行动计划》，用5—10年的时间建立一个现代化的基础教育课程体系，教育部基础教育司于l999年3月组建了国家数学课程标准研制工作组.研究、起草义务教育阶段国家数学课程标准。同时，为了指导交替时期小学数学教学落实素质教育要求的需要。对l992年的大纲作了修订，于2000年3月颁布了《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用修订版)》。这部大纲对教学目的作了三处修订。一是把“能够运用所学的知识解决简单的实际问题”改为“能够探索和解决简单的实际问题”，使素质教育的重点，培养创新意识和实践能力，有所体现。二是把“培养初步的逻辑思维能力”改为“培养初步的思维能力”，反映了在小学数学思维能力研究方面的一些新认识。三是在教育方面，增加了“使学生具有学习数学的兴趣，树立学好数学的信心”。反映了重视学生学习的情感体验，促进学生全面发展的教育理念。这部大纲对教学内容的确定和安排.也作了一些调整。主要是进一步降低四则计算和应用题的教学要求。如“笔算加减法以三位数为主.降低了笔算的实用价值。而使口算和估算的能力变得更加重要。这一趋势仍将延续下去。量与计量的教学内容，也经历了由繁难到简化的变化过程。这是由国家废止市制计量单位，统一实行法定计量单位的改革举措所决定的。在简化内容的同时，更加重视形成计量单位的表象，并逐步加强实际计量的动手操作。今后也将继续如此。
几何教学内容的演变过程，表现为以“求积”计算为主，转化为以认识图形和发展空间观念为主。早在清末《奏定高等小学堂章程》规定高小第四学年的教学内容中，就有“求积”，当时主要是田亩的计算。解放后.逐步明确了几何初步知识在小学算术中的地位，但有很长一段时间，一直以“求积”为教学重点。1978年的大纲，改变了这种状况。当时删去了棱柱、棱锥及其体积计算，增加了轴对称图形、三角形内角和、扇形等知识，并加强了图形的拼摆和动手操作活动。义务教育大纲又进一步明确了小学几何的性质为直观几何、实验几何，并突出了培养空间观念的要求。考虑到小学阶段是儿童空间观念发展的重要时期.而且每个人都需要认识我们的生存空间，因此这部分教学内容将朝着“图形与空间”的方向发展。代数和统计的教学内容，则经历了从无到有的发展过程。
把代数初步知识引入小学数学，始于50年代末一些地方性的教学改革，到1978年正式列入教学大纲。同时在教材中采用了早期孕伏。逐步渗透，分散与集中相结合的编排方式，做到在算术知识的基础上逐步引入，并与算术知识相互配合、相互促进。在此基础上，义务教育大纲又适当加强了简易方程的内容.以利于应用题教学的改革。这部分内容的变化趋向，将进一步和数与计算的知识紧密结合，并将更多地考虑中小学数学教学的衔接，形成一个递进发展的有机整体。
把统计图表的内容列入小学算术教学内容。始于1956年大纲。到1978年大纲增加了数据整理，使学生学习从收集原始数据，进行数据整理到制作简单统计图表的有关内容，从而基本形成了较完整
的统计初步知识的框架。义务教育大纲进一步强调：看懂并会解释简单的统计图表。绘制统计图表的要求不宜过高。这是因为电脑软件的发展，使手工绘制图表的机会更少了，而从统计图表中获取信息的需要则更多了。今后，社会生活中数量化的信息会越来越多，因此统计初步知识的教学内容将进一步得到加强。
应用题过去一直是小学数学的主要教学内容之一。l952年大纲曾经要求用总课时的一半左右来教学应用题。该大纲还采用当时苏联教材的应用题分类体系，并引入一系列类型名称。这种应用题分类教学的方式.对以后的教材和教学影响很大。按照该大纲的要求。复合应用题要学到六步计算，还有近lO种典型应用题。实际上真正能够达到这些教学要求的学生为数不多，而且升人中学学了列方程解应用题以后。算术方法很快就回生、遗忘了。应用题教学内容繁难庞杂的局面，直到l978年大纲才得到扭转。该大纲和教材不仅精简了应用题教学的内容，而且还强调启发学生分析数量关系，使应用题教学由重视一招一式的解题技巧训练转变为重视解题思路教学，重视培养分析问题、解决问题的能力。同时引进方程，以算术解法为基础。逐步过渡到列方程解应用题，使应用题教学改革进入了一个新的发展阶段。义务教育大纲推进了这方面的改革。进一步的改革将着力恢复数学基础知识与实际应用的天然联系.并加强应用题教学的开放性和探索性。