5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足

(1)、在闭区间[a,b]上连续;

(2)、在开区间(a,b)内可导;

(3)、对任一x(a

那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)

Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

题设或证明结论中含有一般的a,b,f(a),f(b)时，经常可考虑直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理证明。

对于“存在两个点”的问题，一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理)，然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。

6、积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ(a≤ξ≤b)使

Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用。

通过上面对各个定理的简单介绍，可以看出“恰当构造辅助函数”成为灵活运用中值定理的关键。下面将介绍几种常见的辅助函数构造方法：

1、原函数法：先将ξ化为x，然后将式子恒等变形以便于积分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,则F(x,f(x))即为所需的辅助函数。

2、常数比值法：它适用于常数已分离的命题。

3、观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：

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