教学目标

1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹;

2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡;

3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。

重点、难点

1、重点：对圆点的轨迹的认识。

2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。

教学活动设计(在老师与学生的交流对话中完成教学目标 )

(一)创设学习情境

1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念

(使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识)

观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合;(电脑动画)

理解：圆上的点具有两个性质：

(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r);

(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上;(结合下图)

引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件;(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.(轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲)

上面左图符合(1)但不符合(2);中图不符合(1)但符合(2);只有右图(1)(2)都符合.因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆.

轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。(研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键)

(二)类比、研究1

(在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识)

轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线;

轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线;

(三)巩固概念

练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：

(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹;

(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹;

(3)经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹.

(A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹;B、C层学生在老师的指导或带领下完成)

(四)类比、研究2

(这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升.这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力)

轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.

(五)巩固训练

练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹：

1.到直线l的距离等于2cm的点的轨迹;

2.已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹.

(A层学生独立画图探索;然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生)

练习题2：判断题

1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线.( )

2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆.( )

3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线.( )

4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线.( )

(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性.题目由学生自主完成、交流、反思)

(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)

(六)理解、小结

(1)轨迹的定义两层意思;

(2)常见的五种轨迹。

(七)作业

教材P82习题2、6.

探究活动

爱尔特希问题

在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?

分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑.最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.

其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).

最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图).

综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心);②任意菱形的4个顶点;③任意正五边形的其中4个顶点.

上述问题是大数学家爱尔特希(P.Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n=4的情形.

当n=3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解.已经证明，时，问题无解.