27.(2+4+4)

解：(1) 将A点坐标为(8，0)代入y=ax2+ x+6

得：64a=-20，∴a=- ，---------1分

∴抛物线的解析式：y=- x2+ x+6---------1分

(2) y=- x2+ x+6令x=0，y=6，

∴C(0，6)，设AC直线解析式为y=kx+b，

∴ ∴ ∴y=- x+6  ---------2分

设P(t，- t2+ t+6) ，E(t，- t+6)

∴ PE=(- t2+ t+6)-(- t+6)

=-  t2+ t  ---------1分

∴d=-  t2+ t  (0

(3) 延长PE交AB于L，

d最大时，t=- =4，---------1分

此时PE=5，

∴P(4，8)，E(4，3) ∵AO=8，∴E是AC中点，

∵Rt△ACO中，AC= =10

∴CE=AE=5=PE，

∴∠ACP=∠CPE，∠EPA=∠EAP

∵∠ACP+∠CPE+∠EPA+∠EAP=180°

∴∠APC=90°，---------1分

∵PE∥y轴，

∴∠ACP=∠CPE=∠1，共分两种情况：

①∠PF1C=90°，∴△PF1C∽△APC，∴F1的坐标为(0，8)---------1分

②∠F2PC=90°，∴△F2PC≌△APC，∴OF2=2O F1=16，∴F2的坐标为(0，16)----1分

综上所述，t=4时d最大，F点坐标为(0，8)，(0，16)

28. (5+5)

(1)证明：过A作AL⊥BD于L，延长CD、BA交于K，连AD.

设∠ABH=α=∠CBD，

∵∠BAD=∠BDC=90°

∴∠CDA=∠ABD=α

∵∠K=90°-α=∠BCK

∴BK=BC，∵∠BDC=90°

∴DK=CD，∴AD是Rt△CAK的斜边中线----2分

∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=α，

∵∠ALB=90°=∠BDK，∴AL∥CD，

∴∠LAH=∠DCH=α，∴∠EAL=2α=∠DAL

∴∠AED=90°-2α=∠ADE，∴AE=AD，∴AE=CD ----3分

(2)  BE2=BG×BD      ----1分

先证：△ABE∽△FBG，

得AB∶BF=BE∶BG  ----2分

再证：△ABD∽△FBE，

得AB∶BF=BD∶BE

∴BE∶BG=BD∶BE

∴BE2=BG×BD    ----2分

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