九年级数学练习题之代数几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题.

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】(温州，12分)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是 的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且 ，EM切⊙O于M。

⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2=BC·CE;

⑶如果AB=2，EM=3，求cot∠CAD的值。

解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA=∠ABE，

∵ ，∴∠DCA=∠BAE，

∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)

∵A是 中点，∴HC=HB=BC，

∵∠CAE=900，∴AC2=CH·CE=BC·CE

⑶∵A是 中点，AB=2，∴AC=AB=2，

∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC=EM2　　　①

∵AC2=BC·CE，BC·CE=8　　　　　  ②

①+②得：EC(EB+BC)=17，∴EC2=17

∵EC2=AC2+AE2，∴AE=

∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD=∠AEC，

∴cot∠CAD=cot∠AEC=

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的.此题表现的非常突出.如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.

【例2】(自贡)如图 2-5-2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90○。过C作CD⊥x轴，D为垂足.

(1)求点 A、B的坐标和AD的长;

(2)求过B、A、C三点的抛物线的解析式。

解：(1)在y=2x+2中

分别令x=0，y=0.

得  A(l，0)，B(0，2).

易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2.

(2)因为A(1，0)，B(0，2)，且由(1)，得C(3,l).

设过过B、A、C三点的抛物线为

所以

所以

点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO.

【例3】(重庆，10分)如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.

(1) 求直线AB的解析式;(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似?

(3) 当t为何值时，△APQ的面积为 个平方单位?

解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b

由题意，得   解得

所以，直线AB的解析式为y=- x+6.

(2)由AO=6， BO=8 得AB=10

所以AP=t ，AQ=10-2t