(7)f(x)=cotx

f'(x)

=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

(8)f(x)=secx

f'(x)

=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx

=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx

=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)

=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

(9)f(x)=cscx

f'(x)

=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx

=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx

=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

(10)f(x)=x^x

lnf(x)=xlnx

(lnf(x))'=(xlnx)'

f'(x)/f(x)=lnx+1

f'(x)=(lnx+1)*f(x)

f'(x)=(lnx+1)*x^x

(12)h(x)=f(x)g(x)

h'(x)

=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx

=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx

=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx

=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

(13)h(x)=f(x)/g(x)

h'(x)

=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx

=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))

=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))

=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))

=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x

(14)h(x)=f(g(x))

h'(x)

=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx

=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx

(另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu)

=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx

=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)

=lim f'(u)*Δu/Δx

=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx

=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)

(15)y=f(x)=arcsinx

则siny=x

(siny)'=cosy

所以

(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy

=1/√1-(siny)^2

(siny=x)

=1/√1-x^2

即f'(x)=1/√1-x^2

(16)y=f(x)=arctanx

则tany=x

(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2

所以

(arctanx)'=1/1+x^2

即f'(x)= 1/1+x^2

总结一下

(x^n)'=nx^(n-1)

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(a^x)'=a^xlna

(e^x)'=e^x

(loga^x)'=1/(xlna)

(lnx)'=1/x

(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2

(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2

(secx)'=tanx*secx

(cscx)'=-cotx*cscx

(x^x)'=(lnx+1)*x^x

(arcsinx)'=1/√1-x^2

(arctanx)'=1/1+x^2

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

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