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2014朝阳区高三数学一模文科试题(带答案)

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2014-04-06

16. 解:(I)由题意可知,逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

设事件 :从 位学生中随机抽取一位,逻辑思维能力优秀的学生,

则 .

解得  .

所以 .               ……………………………………………………5分

(Ⅱ)由题意可知,运动协调能力为优秀的学生共有 位,分别记为

.其中 和 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.

从中任意抽取 位,可表示为 ,

, , ,共 种可能.

设事件 :从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位,其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.

事件 包括 , , , ,共 种可能.所以 .

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . ……………………………13分

17. 解:(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 中, 底面 ,

所以 底面 .

又 底面 ,

所以  .

因为 为菱形,

所以 .而 ,

所以 平面 . ………………4分

(Ⅱ)连接 ,交 于点 ,连接 .

依题意, ∥ ,

且 , ,

所以 为矩形.

所以 ∥ .

又 , , ,

所以 = ,所以 为平行四边形,

则 ∥ .

又 平面 , 平面 ,

所以 ∥平面 .                   ……………………………………………………………9分

(Ⅲ)在 内,满足  的点 的轨迹是线段 ,包括端点.

分析如下:连接 ,则 .

由于 ∥ ,故欲使  ,只需 ,从而需 .

又在 中, ,又 为 中点,所以   .

故 点一定在线段 上.

当 时, 取最小值.

在直角三角形 中, , , ,

所以 .        …………………………………………………………………14分

18.解:(I) ,则函数 在 处的切线的斜率为 .

又 ,

所以函数 在 处的切线方程为 ,即   ………………4分

(Ⅱ) ,  ,( ).

①当 时, , 在区间 上单调递增;

②当 时,令 ,解得 ;令 ,解得 .

综上所述,当 时,函数 的增区间是 ;

当 时,函数 的增区间是 ,减区间是 . ………………9分

(Ⅲ)依题意,函数 没有零点,即 无解.

由(Ⅱ)知,当 时,函数 在区间 上为增函数,区间 上为减函数,

由于 ,只需 ,

解得 .

所以实数 的取值范围为 .  …………………………………………………13分

19. 解:(Ⅰ)由题意得 解得 , .

所以椭圆 的方程是 .       ……………………………………4分

(Ⅱ)由 得 .

设 ,则有 , ,

.

所以线段 的中点坐标为 ,

所以线段 的垂直平分线方程为 .

于是,线段 的垂直平分线与 轴的交点  ,又点 ,

所以 .

又  .

于是, .

因为 ,所以 .

所以 的取值范围为 .       ………………………………14分

20. 解:记 的 , 公差为 , 公比为 ,由 ,得

(Ⅰ) , , , ,

当 时,显然 ;

当 时,由平均值不等式 ,当且仅当 时取等号,而 ,所以 即 .

综上所述, .            ………………………………………………………5分

(Ⅱ)(ⅰ)因为 ,所以 得 所以 或 .因为 ,所以 , .

令 ,即 , , ,所以 是 中的一项.

(ⅱ)假设 ,则 , ,

当 或 ,( )时, .

正整数 的集合是 .        …………………………13分

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