19.(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为，因为

所以

则

则

解得，所以……………………………………………………4分

所以，

所以………………………………………………………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

要证，

只需证

即证：……………………………………………………………………………8分

当时，

下面用数学归纳法证明：当时，

(1)当时，左边，右边，左右，不等式成立

(2)假设，

则时，

时不等式成立

根据(1)(2)可知：当时，

综上可知：对于成立

所以  ………………………………………………………12分

20.(本小题满分13分)

解：(I)由，

抛物线与直线相切，

……………………………………………………2分

抛物线的方程为：，其准线方程为：，

离心率， ，

故椭圆的标准方程为…………………………………………………………5分

(II)设，，

则

当点在椭圆上运动时，动点的运动轨迹

的轨迹方程为： ………………………………………………………7分

由得

设分别为直线，的斜率，由题设条件知

因此…………………………………………9分

因为点在椭圆上，

所以，

故

所以，从而可知：点是椭圆上的点，

存在两个定点，且为椭圆的两个焦点，使得为定值，其坐标为.       …………………………………………………13分

21.(本小题满分14分)

解：(Ⅰ) 函数的定义域为，.

当时，，在上为增函数，没有极值;……………1分

当时，，

若时，;若时，

存在极大值，且当时，

综上可知：当时，没有极值;当时，存在极大值，且当时，  …………………………………………………………4分

(Ⅱ) 函数的导函数，

，，……………………………………5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，则问题可转化为：

对于，，由于，

当时，，，，

，从而在上为减函数，

………………………………………………………………………………………9分

(Ⅲ)当时，，令，则，

，且在上为增函数

设的根为，则，即

当时，，在上为减函数;当时，，在上为增函数，

，，

由于在上为增函数，

…………………………………………………………………………14分

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