三、解答题(共74分，按步骤得分)

17. 解：(I)

……3分

……6分

(II)证明一：依题意，只需证明函数g(x)当 时是增函数

在

即 的每一个区间上是增函数　　　……9分

当 时， 在 是增函数　　　　　　……10分

则当 时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。

……12分

证明二：设函数g(x)图像上任意两点

不妨设

…11分

则当 时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零。

18. 证明  ∵M是BC的中点，连结OM， ∴ = ( + )。

同理由N是AC的中点，得 = ( + )。

∵ = + = ( + + )

= ( - + )= ( + )，

= + = ( + + )= ( - + )

= ( + )= ( - )。

∴ • = ( + )• ( - )= ( - )。

∵| |=| |，∴ • =0，即PM⊥QN。

19.解：(I)由表中数据知(1)鲸沿海岸线方向运行的速度为 (km/分钟)。

(2)a、b满足的关系式为 。

鲸的运动路线图为

(II)以点A为坐标原点，海岸线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，设鲸所在的位

置为点P(x，y)，由(I)知 。

又B(15，0)，依题意知，观测站B的观测区域为

，

又 ，∴ ，

即 。  ∴ 。

故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间为 分钟。

答：鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。

20. 解：(I)    ∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.

又

∴动点N的轨迹是以点C(-1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为 焦距2c=2.

∴曲线E的方程为

(II)当直线GH斜率存在时，

设直线GH方程为

得

设

，

又当直线GH斜率不存在，方程为

21. 解：(1)依题意，⊙ 的半径 ，

⊙ 与⊙ 彼此外切，

两边平方，化简得      ,

即       ,         ，

，

∴ 数列 是等差数列.

(2) 由题设， ，∴ ，即 ，

，

=

=

.

22. 解：(1)f(x)的定义域是 ，

由于所有的 都是正数，故 是单调递增的.

∵         ∴f(x)的定义域是

(Ⅱ)∵

(i=1，2，…)与i无关.

∴　所有的 ， ， …共线，

该直线过点 (a，a)，斜率为1-a，　　　　∴　 .

当n≥2时， 是一个三角形与一个梯形面积之和(如上图所示).梯形面积是

于是  　　故

(Ⅲ)解法一：结合图像，易见 即a≥2时， ，

而 ，即a<2时，

故当1

解法二：假设存在正整数n，使得 ，

则应有

∵　 ，　∴

∴　1

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