第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。)

13.若复数 ，则 __________。

14.已知双曲线 的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为

P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。

15.已知平面区域Ω= ，直线l: 和曲线C: 有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为 ，若 ，则实数m的取值范围是__________。

16.已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1,2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

已知正项数列满足 。

(1)求数列 的通项公式;

(2)设 ，求数列 的前n项和Tn。

18.(本小题满分12分)

从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)，第二组[160,165)，… ，第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

(1)求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;

(2)学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上(含180cm)的三人作为队长，记X为身高在[180,185)的人数，求X的分布列和数学期望。

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F分别为PC，CD的中点，DE = EC。

(1)求证：平面ABE⊥平面BEF;

(2)设PA = a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角 ，求a的取值范围。

20.(本小题满分12分)

已知椭圆 过点 ，离心率 ，若点 在椭圆C上，则点 称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。

(1)求椭圆C的方程;

(2)若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。

21.(本小题满分12分)

已知函数 。

(1)若函数满足 ，且在定义域内 恒成立，求实数b的取值范围;

(2)若函数 在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围;

(3)当 时，试比较 与 的大小。

选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.(本小题满分10分)

选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF•EC。

(1)求证：CE•EB = EF•EP;

(2)若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。

23.(本小题满分10分)

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为 ，圆C的圆心是 ，半径为 。

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)求直线l被圆C所截得的弦长。

24.(本小题满分10分)

选修4-5：不等式选讲

设函数 。

(1)解不等式 ;

(2)已知关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围。

2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试

数学试卷(理工类)答案及评分标准

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B A B B B C C D C B B D