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2013年高三数学二模理科试卷

编辑:

2014-04-15

20、 (本小题共13分)

已知数列 , , , , ( ).

⑴求 , ;

⑵是否存在正整数 ,使得对任意的 ,有 ;

⑶设 ,问 是否为有理数,说明理由.

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二)

数学参考答案(理科)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

(1)B        (2)C         (3)A         (4)D

(5)D        (6)B        (7)D         (8)C

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)

(9)             (10)           (11)

(12)          (13)          (14)①③

注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

(15)(共13分)

解:(Ⅰ)因为

.

所以 的最小正周期 .

(Ⅱ) 因为 ,

所以 .

所以 的取值范围是 .           ………………………………13分

(16)(共13分)

解:(Ⅰ)设该年级共 人,由题意得 ,所以 .

则 .

(Ⅱ)依题意, 所有取值为 .

.

的分布列为:

.          ………………………………………13分

(17)(共14分)

(Ⅰ)证明:因为

所以 ,

又因为 ,且 ,

所以  平面 ,

因为 平面 ,

所以  .

(Ⅱ)因为△ 是等边三角形,

, ,

不防设 ,则  ,

又因为 , 分别为 , 的中点,

由此以 为原点, , , 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 .

则有 , , , , , .

所以 , .

设平面 的法向量为 .

令 ,则 .

所以 .

又平面 的一个法向量为 .

所以  .

所以二面角 的余弦值为 .     ………………………………14分

(18)(共14分)

解:(Ⅰ)  ,定义域为 ,

则 .

因为 ,由 得 , 由 得 ,

所以 的单调递增区间为  ,单调递减区间为 .

(Ⅱ)由题意,以 为切点的切线的斜率 满足

所以 对 恒成立.

又当 时,  ,

所以 的最小值为 .

(Ⅲ)由题意,方程 化简得

+

令 ,则 .

当 时,  ,

当 时,  ,

所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.

所以 在 处取得极大值即最大值,最大值为 .

所以  当 , 即 时,  的图象与 轴恰有两个交点,

方程 有两个实根,

当 时,   的图象与 轴恰有一个交点,

方程 有一个实根,

当 时,   的图象与 轴无交点,

方程 无实根.                         ……14分

(19)(共13分)

解: (Ⅰ)因为 , ,

所以  .

因为原点到直线 : 的距离 ,

解得 , .

故所求椭圆 的方程为 .

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