那么

，如图 6—2，曲线 在弦AB的下方，我们称它是下凹的函 数，同理，由 ，又说明下凹函数有性质：

以上结论与曲线所在象限无关，这是因为曲线经过平移后，不影响它们的数量关系.

题中的四个函数，  所以在(0，1)内，式子 不是恒成立。又 是下凹的，只有 是上凸的，这就是说，在(0，1)内，使式子

恒成立的函数只有一个。∴选B。(参看图7，1—4)

。

后记：无独有偶，今年的北京卷也有类似的试题：对于函数 ，有如下结论：①    ②   ③    ④

当 时，上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是②③，它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. ，

(八)惜墨如金 小题小作

【题8】(2005.全国2卷.12题)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四

面体的高的最小值为(         )

A               B                C               D

【说明】对于这一题，笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂，原文如下：

【解析】正四面体的高最小时，即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O1到

另三个小球球心所在平面O2O3O4的距离(如图7--1)。

O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2  O2E=   O2O=   ∴OO1=

然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面体的顶点A的距离AO1，(如图7--2)

设AB=x  则BO，=   ∴O’A=   ∴O1A= -1=O1B

∵AO，⊥O，B    ∴O1B2=O，O12+O，B2      ∴( -1)2=12+

∵ - +1=1+    ∴ - =0   ∵x≠O  ∴x=

∴O，A= × =4       ∴O1A=3

由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ，∴正四面体的高

的最小值为 3+1+ =4+

以上是正文。原文还有点评，这里从略。

就本题而言，以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里，花这么

大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.

【解1】为求正四面体的高的最小值，只须解决三个问题：

其一，这4个钢球两两外切，其球心也连成一个正四面体，因为其棱长为2，所以它的高为2• = ;

其二，这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1(等于球的半径);

其三，这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3(等于球的半径的3倍)，因此 ，这个正四面体的高

的最小值为 ，∴选C。

【解2】我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球心正四面体”.

“球心正四面体”与“容器正四面体”是同“中心”的相似体，相似中心就是这个共同的“中心”.

既然这个公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面体的高线，那么，还是这个公共的中心应以1∶3

的比例分割容器正四面体的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径，那么，对应

的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个

小球半径.因而?C  是最合理的答案.

以上就是高中阶段一些典型题型及解法，帮助考生进行查缺补漏。

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