概率是对随机事件发生的可能性的度量，下面是概率问题专项练习，希望对考生有所帮助。

题型一、古典概型问题

例1：某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

(1)选取的2位学生都是男生;

(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生。

破题切入点：先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解。

解：(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6。从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种。

从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。

所以选取的2位学生全是男生的概率为P1=。

(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种。

所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2=。

题型二、几何概型问题

例2：(2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________。

破题切入点：由几何概型的特点，利用数形结合即可求解。

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示。∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|≤2)=。

题型三、古典概型与几何概型的综合问题

例3：已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，b∈R。

(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率;

(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率。

破题切入点：本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题。

第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解。

第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解。

解：设事件A为“方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根”;事件B为“方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根”。

(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值。

由Δ=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-36×4>0，得a2+b2>4。

事件A要求a，b满足条件a2+b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

所以方程有两个不相同实根的概率P(A)=。

(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，

故所求概率为：P(B)=1-。

总结提高：

(1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A。

②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m。

③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率。若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。

(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题。在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域。几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关。