解答题是高考数学的重点题目，下面是精品学习网整理的解答题综合练习，请考生练习。

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).

(1)若m∥n，c=a，求角A;

(2)若m·n=3bsin B，cos A=，求cos C的值.

解　(1)∵m∥n，∴acos A=ccos C.

由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，

化简得sin 2A=sin 2C.

∵A，C∈(0，π)，∴2A=2C(舍)或2A+2C=π，

∴A+C=，∴B=，

在Rt△ABC中，tan A==，A=.

(2)∵m·n=3bcos B，∴acos C+ccos A=3bsin B.

由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，

从而sin(A+C)=3sin2B.

∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sin B，从而sin B=，

∵cos A=>0，A∈(0，π)，∴A∈，sin A=.

∵sin A>sin B，

∴a>b，从而A>B，B为锐角，

cos B=.

∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B

=-×+×=.

2.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点.

(1)求证：BF∥平面A1EC;

(2)求证：A1EC⊥平面ACC1A1.

证明　(1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，

在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA=OC1.

又因为F为AC的中点，

所以OF∥CC1且OF=CC1.

因为E为BB1的中点，

所以BE∥CC1且BE=CC1，

所以BE∥OF且BE=OF，

所BEOF是平行四边形，

所以BF∥OE.

又BF平面A1EC，

OE⊂平面A1EC，

所以BF∥平面A1EC.

(2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，

F为AC的中点，

所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.

又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，

所以AA1⊥BF.由BF∥OE得OE⊥AA1，

而AA1，AC⊂平面ACC1A1，

且AA1∩AC=A，

所以OE⊥平面ACC1A1.

因为OE⊂平面A1EC，

所A1EC⊥平面ACC1A1.

3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.

(1)求椭圆C2的方程;

(2)设P为椭圆C2上异于A1A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)

(1)解　由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，

椭圆C1的离心率e=.

设椭圆C2的方程为+=1(a>b>0)，则b=.

因为==，所以a=2.

所以椭圆C2的方程为+=1.

(2)证明　设P(x0，y0)，y0≠0，则+=1，

从而y=12-2x.

x=x0代入+=1得+=1，

从而y2=3-=，

即y=±.

因为P，H在x轴的同侧，

所以取y=，即H(x0，).

所以kA1P·kA2H=·=

==-1，

从而A1P⊥A2H.

又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心.