参考答案

1.C。解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为，双曲线的上焦点为(0，2)，依题意则有=2，解得a=8。

2.C。解析：由已知，得准线方程为x=-2，

F的坐标为(2，0)。

又A(-2，3)，直线AF的斜率为k==-。故选C。

3.解析：抛物线方程可化为x2=-，其准线方程为y=。

设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可知-y0=1y0=-。

4.B。解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2=2px，

则两式相减可得2p=×(y1+y2)=kAB×2=2，

即可得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x。

5.B。解析：抛物线C:y2=8x的焦点为F(2，0)，准线为x=-2，K(-2，0)。

设A(x0，y0)，过点A向准线作垂线AB垂足为B，则B(-2，y0)。

|AK|=|AF|，

又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2，

由|BK|2=|AK|2-|AB|2，

得=(x0+2)2，即8x0=(x0+2)2，

解得A(2，±4)。

故AFK的面积为|KF|·|y0|

=×4×4=8。

6.x2+(y-4)2=64。解析：抛物线的焦点为F(0，4)，准线为y=-4，

则圆心为(0，4)，半径r=8。

故圆的方程为x2+(y-4)2=64。

7.3x+py+2q=0。解析：由题意知，直线AB与x轴不垂直。

设直线AB的方程为y=kx+m，与抛物线方程联立，得x2-2pkx-2pm=0，

此方程与x2+6x+4q=0同解，

则解得

故直线AB的方程为y=-x-，

即3x+py+2q=0。

8.解：由M(2，2)知，线段AB所在的直线的斜率存在，

设过点M的直线方程为y-2=k(x-2)(k≠0)。

由消去y，

得k2x2+(-4k2+4k-4)x+4(k-1)2=0。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1+x2=，

x1x2=。

由题意知=2，

则=4，解得k=1，

于是直线方程为y=x，x1x2=0。

因为|AB|=|x1-x2|=4，

又焦点F(1，0)到直线y=x的距离d=，所以ABF的面积是×4=2。

9.解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，

则点P(x，y)满足-x=1(x>0)，

化简得y2=4x(x>0)。

(2)设过点M(m，0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)。

设l的方程为x=ty+m。

由得y2-4ty-4m=0，

Δ=16(t2+m)>0，

因为=(x1-1，y1)，

=(x2-1，y2)，

所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1。

又<0，

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0，③

因为x=，所以不等式可变形为

+y1y2-+1<0，

即+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0。

将代入整理得m2-6m+1<4t2。

因为对任意实数t，4t2的最小值为0

所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，

即3-20)，则FD的中点为。

因为|FA|=|FD|，

由抛物线的定义知3+，

解得t=3+p或t=-3(舍去)。

由=3，解得p=2。

所以抛物线C的方程为y2=4x。

(2)由(1)知F(1，0)。

设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)，

因为|FA|=|FD|，

则|xD-1|=x0+1。

由xD>0得xD=x0+2，

故D(x0+2，0)。

故直线AB的斜率kAB=-。

因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y=-x+b，

代入抛物线方程得y2+y-=0，

由题意Δ==0，

得b=-。

设E(xE，yE)，

则yE=-，xE=。

当≠4时，kAE==-，

可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0)，

由=4x0，整理可得y=(x-1)，

直线AE恒过点F(1，0)。

当=4时，直线AE的方程为x=1，过点F(1，0)。

所以直线AE过定点F(1，0)。

由知直线AE过焦点F(1，0)，

所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2。

设直线AE的方程为x=my+1，

因为点A(x0，y0)在直线AE上，

故m=。

设B(x1，y1)，

直线AB的方程为y-y0=-(x-x0)，由于y0≠0，

可得x=-y+2+x0，

代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0。

所以y0+y1=-。

可求得y1=-y0-，

x1=+x0+4。

所以点B到直线AE的距离为

d=4。

则ABE的面积S=×4≥16，

当且仅当=x0，即x0=1时等号成立。

所以ABE的面积的最小值为16。

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