知识点二：古典概型的运用

*例4：同时掷两个骰子，计算： (1)一共有多少种不同的结果?

(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?

(4)为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 思路分析：

题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题.

解题思路：先分析“同时掷两个骰子的所有事件数”，然后分析事件A：向上的点数之和为5的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运用举一反三的思想自行设问、解答.

解答过程：

解：(1)掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如表)，其中第一个数表示掷1号骰子的结果，第二个数表示掷2号骰子的结果.(可由列表法得到) 1号骰子2号骰子1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456 由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种. (2)在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为： (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)

(3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得

P(A)=A所包含的基本事件的个数41==

基本事件的总数369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这时，所有可能的结果将是：

(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5)(5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为

P(A)=A所包含的基本事件的个数2=

基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满足古典概型的要求了.可以通过展示两个不同的骰子所抛掷出来的点，感受第二种方法构造的基本事件不是等可能事件.

解题后的思考：考查同学们运用古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件.

对于同时抛掷的问题，我们要将骰子编号，因为这样就能反映出所有的情况，不至于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的.

**例5：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 思路分析：

题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运用

解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是“不放回的，连续的取两次”.

先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件A的基本事件数，利用概率公式求解. 解答过程：

解法1：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.

用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)] 事件A由4个基本事件组成，因而P(A)=

42= 63解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)=

2 3解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但无论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.

***例6：从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 思路分析：

题意分析：本题考查放回抽样的概率问题.

解题思路：首先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明白一次试验指的是“有放回的，连续的取两次”.

解答过程：每次取出一个后放回，连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有9个，即

(a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1) (a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2) (b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1)

其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品. 用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)] 事件A由4个基本事件组成，因此P(A)=

4. 9解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不变的，且同一个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏. 小结：

(1)古典概型概率的计算公式是非常重要的一个公式，要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运用，为我们学好概率奠定基础.

(2)体会求解不放回和有放回概率的题型.