第一学期期中试卷

高二数学(理科)参考答案

一、填空题

1. 2    2.3    3.      4.      5.       6.      7.

8.        9. x + 3y – 5 =0     10.      11. 18

12.  (或 )  13.     14.

二、解答题

15. 解：由题意得：(1) ，解得： ，所以 ………3分

因为所求直线与直线 平行，所以 ，

则所求直线方程为：                              ………………7分

(2)直线MN所在直线的斜率为：             ………………10分

因为所求直线与两点 所在直线垂直，所以

则所求直线方程为：                            ………………14分

16.解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为 +  ，其半焦距 .

，

∴  ， ，                    ………………5分

故所求椭圆的标准方程为 + ;                        ………………7分

(2)点P(5，2)、 (-6，0)、 (6，0)关于直线y=x的对称点分别为：

、 (0，-6)、 (0，6)                            ………………9分

设所求双曲线的标准方程为 -  ，由题意知半焦距 ，

，

∴  ， ，                  ………………12分

故所求双曲线的标准方程为 – .                       ………………14分

17. 解：圆形道的方程为x2+y2=2500，                             ………………2 分

引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250 )，              ………………4分

设 的方程为 ，由图可知

又 与圆 相切，  到 距离 ，

解得 ，

的方程为 ①，                         ………………8分

又 ，

则OP的方程是： ②                                  ………………10分

由①②解之得 点坐标                           ………………13分

∴引伸道在所建坐标系中的方程为 ，出口P的坐标是

……………………14分

18.解：(1)因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，

则点M所在曲线是以OP为直径的圆 ，其方程为 ，

即 ;                                 ……………………4分

(2)因为直线l的斜率为 ，所以直线l的方程是： ，

即 ，                                      ……………………6分xkb1.com

设点O到直线l的距离为d，则 ，

所以 ，解得： ;       ……………………10分

(3)设切点Q的坐标为 .则切线斜率为 .

所以切线方程为 .又 ，则

……………………12分

此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 .……14分

由 知当且仅当 时， 有最大值.

即 有最小值.因此点Q的坐标为 .             ……………………16分

19.解：(Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为： ，

因为抛物线经过点 ，所以 ，解得： ，

则抛物线C的标准方程是： ;                 …………………………3分

(Ⅱ)由(1)知：F(1,0)，OA的中点M的坐标为 ，

则 ，所以直线FM的方程是： ;    …………6分

(Ⅲ)当直线的斜率不存在时，则

所以 ，则 ;………………8分

当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为

设 ，则 ，

同理可得： ，所以

= ，                          …………………12分

由方程组 消去y，并整理得： ，

所以 ，                                            …………………14分

则 ，又 ，所以 ，

综上所述：                                   ………………………16分

20. 解：(Ⅰ)设P点的坐标为(x, y)，则

因为动点P与A、B连线的斜率之积为 ，所以 ，

化简得： ，所以点P的轨迹方程为 (x≠±4)  …………6分

(Ⅱ)(1)由题意知：C(0，– 2)，A(–4，0)，

所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3，                        ……………8分

设M(a, 2a+3)(a>0)，则⊙M的方程为 ，

因为圆心M 到y轴的距离d=a，由 ，得： ，…………10分

所以圆M的方程为 。……………………………………11分

(2)假设存在定直线l与动圆M均相切，

当定直线l的斜率不存在时，不合题意，                    ……………………12分

当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，

则 对任意r>0恒成立，

由 ，得：

，           ………………14分

所以 ，解得： 或 ，

所以存在两条直线y=3和4x+3y – 9=0与动圆M均相切           ………………16分

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