例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1)，求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

解析 充分性:当q=-1时，a1=p-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).于是当n≥1时，=p，即数列{an}为等比数列.

必要性：当n=1时，a1=S1=p+q;当n≥2时，an=Sn-Sn-1

=pn-1(p-1).因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列{an}为等比数列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

综上所述，q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件.

突破 证明p是q的充要条件需要分两步：①充分性，把p作为已知条件，结合命题的前提条件，推出q;②必要性，把q作为已知条件，结合命题的前提条件，推出p.最后综上所述，可得p是q的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它对结论成立是否必要;必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论成立是否充分.因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性，其结果有可能缩小范围;只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围.

3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分

例4 指出下列命题的真假.

(1) -1是奇数或偶数;

(2) 属于集合Q，也属于集合R;

(3) A?埭(A∪B).

解析 (1) 此命题为“p或q”的形式，其中p：-1是奇数;q：-1是偶数.因为p为真命题，所以原命题为真命题.

(2) 此命题为“p且q”的形式，其中p：属于集合Q;q：属于集合R.因为只有q为真命题，所以原命题为假命题.

(3) 此命题为“非p”的形式，其中p：A?哿(A∪B).因为p为真命题，所以原命题为假命题.

突破 判断如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假时，首先要确定命题的构成形式，然后判断其中各简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假.

例5 写出下列各命题的否定和否命题.

(1) 若x+y是偶数，则x，y都是奇数;

(2) 若xy=0，则x=0或y=0.

解析 (1) 命题的否定：若x+y是偶数，则x，y不都是奇数;否命题：若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数.

(2) 命题的否定:若xy=0，则x≠0且y≠0;否命题:若xy≠0，则x≠0且y≠0.

突破 命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设，又否定结论.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”;“x，y都是奇数”的否定是“x，y不都是奇数”而不是“x，y都不是奇数”.