4. “全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一个量词的命题的否定

例6 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，并判断真假.

(1) 有一个实数α，tanα无意义;

(2) 任何一条直线都有斜率;

(3) ?埚x<0，使x2+x+5<0;

(4) 自然数的平方是正数.

解析 (1) 存在性命题，当α=时，tanα无意义，因此原命题为真命题.

(2) 全称命题，当倾斜角为时，该直线斜率不存在，因此原命题为假命题.

(3) 存在性命题，由判别式可知Δ=1-4×5=-19<0，所以对?坌x∈R，x2+x+5>0，因此原命题为假命题.

(4) 全称命题，存在自然数0，其平方不是正数，因此原命题为假命题.

突破 ①要判定全称命题“?坌x∈M，p(x)”为真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立;如果集合M中找到一个元素x0，使得p(x)不成立，那么这个全称命题为假命题.②要判定存在性命题“?埚x0∈M，p(x)”为真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题.

例7 写出下列命题的否定.

(1) 面积相等的三角形是全等三角形;

(2) 有些质数是奇数;

(3) 对?坌x∈R，x2+x+1=0都成立;

(4) ?埚x∈R，x2+2x+5>0.