高中高二数学重点知识点：求解无棱二面角大小的三个对策

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求解无棱二面角的大小思维活、方法多，是高考的热点，同时也是难点问题之一，现从一例高考题出发来系统疏理、归纳.

题目 (2011高考全国卷第16题)已知如右图，点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于____.

对策一 利用空间向量求解

解法1 (利用空间基向量求解)由题意，=+，=+=++.设平面AEF的法向量为n=x+y+z，由n?=0，n?=0，得(x+y+z)?(+)=0，(x+y+z)?(++)=0，把相关量代入化简，得x+z=0，x+y+z=0.取z=3，解得x=y=-1，从而n=

--+3，不难求得|n|=.

又平面ABC的法向量为，故n?=(--+3)?=3，所以cos〈，n〉==，从而sin〈，n〉==，tan〈，n〉=.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.

点评 面对丰富的几何条件，尤其是每个顶点处的向量都容易表示两两夹角及线段的长度也容易求出，利用空间几何向量求解是最易操作的.虽然对于填空或选择题来说，这样也许会费时费力、小题大做，可这是一种万全之策.

解法2 (利用空间坐标系求解)分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标D-xyz，得A(1，0，0)，E1，1，，F0，1，，从而=0，1，，=-1，1，.设平面AEF的法向量为m=(x，y，z)，由m?=0，m?=0，得y+z=0，-x+y+z=0.取z=3，得m=(-1，-1，3)，故|m|=.

又平面ABC的法向量为=(0，0，1)，所以由cos〈，m〉==，可得sin〈，m〉==，从而tan〈，m〉=.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.

点评 用空间直角坐标系求解时，找(作)两两垂直的三线建立适当的空间直角坐标系是关键.

对策二 利用公式cosθ=求解，其中S是二面角的一个半平面中的一个封闭图形的面积，S′是S在另一个半平面上的射影的面积

解法3 由正方体的性质，可知△AEF在平面ABCD上的射影为△ABC.设正方体的棱长为1，在Rt△ACF中，AF===;在Rt△ABE中，AE===.取线段CF的中点为点M，则在Rt△EMF中，求得EF=;取线段AF的中点为点N，则在Rt△ANE中，EN===.

由此得S△AEF=AF?EN=××=，S△ABC=AB?BC=，得cosθ==，sinθ==，从而tanθ==.故平面AEF与平面ABC所成二面角的正切值等于.

点评 利用面积射影法间接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角双重麻烦，使求解过程更简便.