16.

考点： 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系.

专题： 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析： (Ⅰ)椭圆离心率为 ，线l：x=﹣ 将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，可确定几何量，从而可得椭圆C的方程;

(Ⅱ)分类讨论，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求得结论.

解答： 解：(Ⅰ)设F2(c，0)，则 = ，所以c=1.

因为离心率e= ，所以a= ，所以b=1

所以椭圆C的方程为 . …(6分)

(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣ ，此时P( ，0)、Q( ，0)， .

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(﹣ ，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由 得(x1+x2)+2(y1+y2) =0，

则﹣1+4mk=0，∴k= .

此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为 ，即y=﹣4mx﹣m.

联立 消去y，整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.

所以 ， .

于是 =(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)

=

= = .

令t=1+32m2，1

又1

综上， 的取值范围为[﹣1， ).…(15分)

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