【摘要】欢迎来到精品学习网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高三数学教案：简单的线性规划”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高三数学教案：简单的线性规划

●知识梳理

1.二元一次不等式表示平面区域

在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0，y0).

B>0时，①Ax0+By0+C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方;②Ax0+By0+C<0，则点P(x0，y0)在直线的下方.

对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.

当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;②Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.

2.线性规划

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.

线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：

(1)根据题意，设出变量x、y;

(2)找出线性约束条件;

(3)确定线性目标函数z=f(x，y);

(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);

(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)=t(t为参数);

(6)观察图形，找到直线f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.

●点击双基

1.下列命题中正确的是

A.点(0，0)在区域x+y≥0内

B.点(0，0)在区域x+y+1<0内

C.点(1，0)在区域y>2x内

D.点(0，1)在区域x-y+1>0内

解析：将(0，0)代入x+y≥0，成立.

答案：A

2.(2005年海淀区期末练习题)设动点坐标(x，y)满足

(x-y+1)(x+y-4)≥0，

x≥3，

A. B. C. D.10

解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.

答案：D

2x-y+1≥0，

x-2y-1≤0，

x+y≤1

A.正三角形及其内部

B.等腰三角形及其内部

C.在第一象限内的一个无界区域

D.不包含第一象限内的点的一个有界区域

解析：将(0，0)代入不等式组适合C，不对;将( ， )代入不等式组适合D，不对;又知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称且所夹顶角α满足

tanα= = .

∴α≠ .

答案：B

4.点(-2，t)在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是________________.

解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，则2×(-2)-3t+6<0，解得t> .

答案：t>

5.不等式组 表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____________个.

解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个.

答案：3

●典例剖析

【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的面积.

剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

解：|x-1|+|y-1|≤2可化为

x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，

y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，

x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

其平面区域如图.

∴面积S= ×4×4=8.

评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

深化拓展

若再求：① ;② 的值域，你会做吗?

答案： ①(-∞，- ]∪[ ，+∞);②[1，5].

【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h(4≤v≤20)从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.

(1)作图表示满足上述条件的x、y范围;

(2)如果已知所需的经费

p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元)，

那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影响花费的是3x+2y的取值范围.

解：(1)依题意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.

∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①

由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14.②

因此，满足①②的点(x，y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界).

(2)∵p=100+3•(5-x)+2•(8-y)，

∴3x+2y=131-p.

设131-p=k，那么当k最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域(包括边界)且斜率为- 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10，4)，即当x=10，y=4时，p最小.

此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.

评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.

【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

x+y≤9，

10×6x+6×8x≥360，

0≤x≤4，

0≤y≤7.

z=252x+160y，

其中x、y∈N.

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.

作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点(2，5)时，满足上述要求.

此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.

答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.

评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.

●闯关训练

夯实基础

1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________条件.

A.充分而不必要 B.必要而不充分

C.充分且必要 D.既不充分也不必要

解析：数形结合.

答案：B

2.(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面区域为

解析：可转化为

x+2y+1≥0， x+2y+1≤0，

x-y+4≤0 x-y+4≥0.

答案：B

3.(2004年全国卷Ⅱ，14)设x、y满足约束条件

x≥0，

x≥y，

2x-y≤1，则z=3x+2y的最大值是____________.

解析：如图，当x=y=1时，zmax=5.

答案：5

x-4y+3≤0，

3x+5y-25≤0，

x≥1，

_________.

解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx的斜率，因此，当直线y=zx过点A时，z最大;当直线y=zx过点B时，z最小.