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2012年高三数学下学期期中试题:理科科目

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2013-04-08

6.已知符号函数 ,则函数 的零点个数为( C )

A. B. C. D.

7.,椭圆的中心在坐标原点 ,顶点分别是 ,焦点为 ,延长 与 交于 点,若 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 ( C )

A. B. C. D.

8.“ ”含有数字 ,且有两个数字 ,则含有数字 ,

且有两个相同数字的四位数的个数为( B )

A. B. C. D.

9. 已知变量 满足约束条件 ,若目标函数 仅在点 处取到最大值,则实数 的取值范围为( A )

A. B. C. D.

10. 已知集合 ,若集合 ,且对任意的 ,存在 ,使得 (其中 ),则称集合 为集合 的一个 元基底.给出下列命题:

①若集合 , ,则 是 的一个二元基底;

②若集合 , ,则 是 的一个二元基底;

③若集合 是集合 的一个 元基底,则 ;

④若集合 为集合 的一个 元基底,则 的最小可能值为 .

其中是真命题的为( D )

A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.

11.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工 ▲ .10

12.已知一个空间几何体的三视图所示,根据图中标出的尺寸

(单位:cm),可得这个几何体的体积为____ ▲ _cm3.

13.已知双曲线 的一个焦点在圆

上,则双曲线的渐近线方程为 ▲ .

14.一个人随机的将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对的个数记为 ,则 的期望

E = ▲ .

15.已知等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项,则 ▲ .

16.所示的几何体中,四边形 是矩形,平面 平面 ,已知 , ,且当规定主(正)视方向垂直平面 时,该几何体的左(侧)视图的面积为 .若 、 分别是线段 、 上的动点,则 的最小值为 ▲ .

17.已知 是正整数,若关于 的方程 有整数解,则 所有可能的取值集合是 ▲ .

三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分14分)己知在锐角 中,角 所对的边分别为 ,且 .

(Ⅰ)求角 大小;

(Ⅱ)当 时,求 的取值范围.

解:(Ⅰ)由已知及余弦定理,得 因为 为锐角,所以 ……6分

(Ⅱ)由正弦定理,得 ,

……………… 11分

由 得

…………………14分

19.(本小题满分14分)设数列 的前 项和为 ,已知 为常数, ),  .

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)是否存在正整数 ,使 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 ;若不存在,说明理由.

解:(Ⅰ)由题意,知 即 解之得 ……………2分

,① 当 时, ,②

① ②得, , ………………………………………………………4分

又 ,所以 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,

所以 .………………………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由⑵得, ,由 ,得

,即 ,……………………………………10分

即 ,因为 ,所以 ,

所以 ,且 ,

因为 ,所以 或 或 .……………………………………………………… 12分

当 时,由 得, ,所以 ;

当 时,由 得, ,所以 或 ;

当 时,由 得, ,所以 或 或 ,

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 为:

.……………………………………………………………14分

20.(本小题满分15分),在三棱锥 中, 为 的中点,平面 ⊥平面 ,

, .

(Ⅰ)求证: ;

(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;

(III)若动点M在底面三角形ABC上,二面角

的余弦值为 ,求BM的最小值.

解:(Ⅰ)因为 为 的中点, AB=BC,所以 ,

∵平面 ⊥平面 ,平面 平面 ,

∴ 平面PAC,∴ ; ………5分

(Ⅱ)以 为坐标原点, 分别为 轴

建立所示空间直角坐标系,因为AB=BC=PA= ,

所以OB=OC=OP=1,从而O(0,0,0),B(1,0,0),

A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

设平面PBC的法向量 ,由 得方程组

,取 ,∴

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ;…………………………………………10分

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