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2012年高三数学下学期期中试题:理科科目

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2013-04-08

(III)由题意平面PAC的法向量 ,

设平面PAM的法向量为

∵ 又因为

∴ 取 ,

∴ ,∴ 或 (舍去)

∴B点到AM的最小值为垂直距离 .……………………………………………15分

21.(本小题满分15分)设椭圆 : 的一个顶点与抛物线 : 的焦点重合, 分别是椭圆的左右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点.

(I)求椭圆 的方程;

(II)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由;

(III)若 是椭圆 经过原点 的弦,且 ,求证: 为定值.

解:(I)椭圆的顶点为 ,即 , ,解得 ,

椭圆的标准方程为 ……………………………………………………………5分

(II)由题可知,直线 与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.

②设存在直线 为 ,且 , .

由 得 , , ,

=

所以 ,故直线 的方程为 或 …………………………10分

(III)设 ,

由(II)可得: |MN|=

= .

由 消去y,并整理得: ,

|AB|= ,∴ 为定值 …………………15分

22.(本小题满分14分)已知函数 ,设曲线 在与 轴交点处的切线为 , 为 的导函数,满足 .

(1)求 ;

(2)设 , ,求函数 在 上的最大值;

(3)设 ,若对一切 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.

解:(1) , ,

函数 的图像关于直线 对称,则 .…………………………………2分

直线 与 轴的交点为 , ,且 ,

即 ,且 ,解得 , .

则 . …………………………………………………………………5分

(2) , …………7分

其图像所示.当 时, ,根据图像得:

(ⅰ)当 时, 最大值为 ;

(ⅱ)当 时, 最大值为 ;

(ⅲ)当 时, 最大值为 . ……10分

(3)方法一: , , ,

当 时, ,

不等式 恒成立等价于 且 恒成立,

由 恒成立,得 恒成立,

当 时, , , ,……………………12分

又 当 时,由 恒成立,得 ,因此,实数 的取值范围是 .……14分

方法二:(数形结合法)作出函数 的图像,其图像为线段 (),

的图像过点 时, 或 ,

要使不等式 对 恒成立,

必须 , …………………………………12分

又 当函数 有意义时, ,

当 时,由 恒成立,得 ,

因此,实数 的取值范围是 . …………………………………14分

方法三: , 的定义域是 ,

要使 恒有意义,必须 恒成立,

, ,即 或 . ………………① …………………12分

由 得 ,

即 对 恒成立,

令 , 的对称轴为 ,

则有 或 或

解得 . ………………②

综合①、②,实数 的取值范围是 . …………………………………14分

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