(III)由题意平面PAC的法向量 ，

设平面PAM的法向量为

∵ 又因为

∴ 取 ，

∴

∴ ，∴ 或 (舍去)

∴B点到AM的最小值为垂直距离 .……………………………………………15分

21.(本小题满分15分)设椭圆 ： 的一个顶点与抛物线 ： 的焦点重合， 分别是椭圆的左右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点.

(I)求椭圆 的方程;

(II)是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程;若不存在，说明理由;

(III)若 是椭圆 经过原点 的弦，且 ，求证： 为定值.

解：(I)椭圆的顶点为 ，即 ， ，解得 ，

椭圆的标准方程为 ……………………………………………………………5分

(II)由题可知，直线 与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.

②设存在直线 为 ，且 ， .

由 得 ， ， ，

=

所以 ，故直线 的方程为 或 …………………………10分

(III)设 ,

由(II)可得： |MN|=

= .

由 消去y，并整理得： ，

|AB|= ，∴ 为定值 …………………15分

22.(本小题满分14分)已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 .

(1)求 ;

(2)设 ， ，求函数 在 上的最大值;

(3)设 ，若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

解：(1) ， ，

函数 的图像关于直线 对称，则 .…………………………………2分

直线 与 轴的交点为 ， ，且 ，

即 ，且 ，解得 ， .

则 . …………………………………………………………………5分

(2) ， …………7分

其图像所示.当 时， ，根据图像得：

(ⅰ)当 时， 最大值为 ;

(ⅱ)当 时， 最大值为 ;

(ⅲ)当 时， 最大值为 . ……10分

(3)方法一： ， ， ，

当 时， ，

不等式 恒成立等价于 且 恒成立，

由 恒成立，得 恒成立，

当 时， ， ， ，……………………12分

又 当 时，由 恒成立，得 ，因此，实数 的取值范围是 .……14分

方法二：(数形结合法)作出函数 的图像，其图像为线段 ()，

的图像过点 时， 或 ，

要使不等式 对 恒成立，

必须 ， …………………………………12分

又 当函数 有意义时， ，

当 时，由 恒成立，得 ，

因此，实数 的取值范围是 . …………………………………14分

方法三： ， 的定义域是 ，

要使 恒有意义，必须 恒成立，

， ，即 或 . ………………① …………………12分

由 得 ，

即 对 恒成立，

令 ， 的对称轴为 ，

则有 或 或

解得 . ………………②

综合①、②，实数 的取值范围是 . …………………………………14分

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