20.(本小题共13分)

定义：如果数列 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 为“三角形”数列.对于“三角形”数列 ，如果函数 使得 仍为一个“三角形”数列，则称 是数列 的“保三角形函数” .

(Ⅰ)已知 是首项为 ，公差为 的等差数列，若 是数列 的

“保三角形函数”，求 的取值范围;

(Ⅱ)已知数列 的首项为 ， 是数列 的前n项和，且满足 ，证明 是“三角形”数列;

(Ⅲ)若 是(Ⅱ)中数列 的“保三角形函数”，问数列 最多有多少项?

(解题中可用以下数据 : )

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试

高三数学(理科)参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A D C C A B C

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

题号 9 10 11 12 13 14

答案 2;6

9   ①③

(9题、11题第一空2分,第二空3分)

三、解答题共6小题，共80分.

15.(本小题共13分)

(Ⅰ)因为 ，所以 .

所以函数 的定义域为           ……………2分

……………5分

……………7分

(Ⅱ)因为 ，所以               ……………9分

当 时，即 时， 的最大值为 ;      ……………11分

当 时，即 时， 的最小值为 .    ………13分

16.(本小题共14分)

(Ⅰ)证明： 在△ 中，

.又 .

由

.   …………………………4分

(Ⅱ)如图,以 为原点，建立空间直角坐标系. ……………………5分

.

设 为平面 的一个法向量，

因为

所以 ，

令 ，得 .

所以 为平面 的一个法向量.      ……………………7分

设 与平面 所成角为 .

则 .

所以 与平面 所成角的正弦值为 .          …………………9分

(Ⅲ)设 ,则

…………………12分

当 时,  的最小值是 .

即 为 中点时,  的长度最小,最小值为 .  …………………14分

17.(本小题共13分)

记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 ，依题意有

且 相互独立.

(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

.                       …………………3分

(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 ，则有

= ，      …………………5分

所以 ， .                          ……………………7分

(Ⅲ) 的所有可能取值为 .                    ……………………8分

所以 ，

=  =  .      ……………………11分

分布列为：

所以， .      ………………13分

2.(本小题共13分)

(Ⅰ)                                     …………………1分

， ，所以切线 的方程为

，即 .                 …………………3分

(Ⅱ)令 则

↗ 最大值 ↘

…………………6分

，所以 且 ， ， ，

即函数 的图像在直线 的下方.        …………………8分