19.解：(I)记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A

则 .

∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为  ………………5分

(II)解法一：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P= ，……7分

所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：

ξ 0 1 2 3

P(ξ)

………11分

所以ξ～ ，                       ………………………………………12分

所以Eξ=1.                        ………………………………………………13分

解法 二：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P= ，   ……7分

所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：

ξ 0 1 2 3

P(ξ)

………11分

所以Eξ= .   ……………………………………13分

20.解：(Ⅰ)设椭圆 的标准方程为 ，且 .

由题意可知： ， .             ………………………………………2分

解得 .

∴  椭圆 的标准方程为 .      ……………………………………3分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .设 .

(ⅰ)当直线 垂直于 轴时，直线 的方程为 .

由  解得： 或

即 (不妨设点 在 轴上方). …………………5分

则直线 的斜率 ，直线 的斜率 .

∵  ，得  .

∴  .                       ………………………………………6分

(ⅱ)当直线 与 轴不垂直时，由题意可设直线 的方程为 .

由 消去 得： .

因为 点 在椭圆 的内部，显然 .

………………………………………8分

因为  ， ， ，

所以

∴   .     即 为直角三角形.              ……………11分

假设存在直线 使得 为等腰三角形，则 .

取 的中点 ，连接 ，则 .

记点 为 .

另一方面，点 的横坐标 ，

∴点 的纵坐标 .

又

故 与 不垂直，矛盾.

所以 当直线 与 轴不垂直时，不存在直线 使得 为等腰三角形.

………………………………………13分

21.解：(Ⅰ)因为①当 时， ，

所以方程 有实数根0;

② ，

所以 ，满足条件 ;

由①②，函数 是集合 中的元素.        …………5分

(Ⅱ)假设方程 存在两个实数根 ，  ，

则 ， .

不妨设 ，根据题意存在 ，

满足 .

因为 ， ，且 ，所以 .

与已知 矛盾.又 有实数根，

所以方程 有且只有一个实数根.                 …………10分

(Ⅲ)当 时，结论显然成立;  ……………………………………………11分[来源:学&科&网Z&X&X&K]

当 ，不妨设 .

因为 ,且 所以 为增函数，那么 .

又因为 ，所以函数 为减函数，

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