三、解答题

15. (本小题满分13分)

解：

(Ⅰ) .

显然，函数 的最小正周期为 . …………… 8分

(Ⅱ)令 得

， .

又因为 ，所以 .

函数 在 上的单调减区间为 . …………… 13分

16. (本小题满分13分)

解：(I)设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

则 .

解得 .

所以 . …………… 4分

(II)设事件 ：从 人中任意抽取 人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有 人.

则 . …………… 7分

(III) 的可能取值为 ， ， .

位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人.

所以 ，

，

.

所以 的分布列为

0 1 2

所以， . …………… 13分

17. (本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ， .

因为 ， 分别是 ， 的中点，

所以 是△ 的中位线.

所以 ∥ ，且 .

又因为 是 的中点，且底面 为正方形，

所以 ，且 ∥ .

所以 ∥ ，且 .

所以四边形 是平行四边形.

所以 ∥ .

又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . ……………4分

(Ⅱ)证明： 因为平面 平面 ，

，且平面 平面 ，

所以 平面 .

所以 ， .

又因为 为正方形，所以 ，

所以 两两垂直.

以点 为原点，分别以 为 轴，

建立空间直角坐标系(如图).

由题意易知 ，

设 ，则

， ， ， ， , , .

因为 ， ， ，

且 ，

所以 ， .

又因为 ， 相交于 ，所以 平面 . …………… 9分

(Ⅲ)易得 ， .

设平面 的法向量为 ，则

所以 即

令 ，则 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ，

所以 .

由图可知，二面角 的大小为锐角，

所以二面角 的余弦值为 . ……………14分

18. (本小题满分13分)

解：函数 的定义域是 ， .

(Ⅰ)(1)当 时， ，故函数 在 上单调递减.

(2)当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减.

(3)当 时，令 ，又因为 ，解得 .

①当 时， ，所以函数 在 单调递减.

②当 时， ，所以函数 在 单调递增.

综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，

当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 .…7分

(Ⅱ)(1)当 时，由(Ⅰ)可知， 在 上单调递减，

所以 的最小值为 ，解得 ，舍去.

(2)当 时，由(Ⅰ)可知，

①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，

所以函数 的最小值为 ，解得 .

②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

在 上单调递增，所以函数 的最小值为 ，

解得 ，舍去.

③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去.

综上所述， . ……………13分

19. (本小题满分14分)

解：(Ⅰ)由题意得 ，解得 ， .

所以椭圆 的方程是 . …………… 4分

(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.

由 得 .

设 ，则有 ， .

又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 .

由题意可知直线 的方程为 ，故点 .直线 的方程为 ，故点 .

若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立.

又因为 ， ，

所以 恒成立.

又因为

，

所以 .

解得 .

故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . …………… 14分

20. (本小题满分13分)

解：(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.

所以 . …………… 3分

(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， .

， ， 的可能取值为 .

对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个(如： 时， ，当 分别取 时，可得递增等差数列91个： ; ; ; ，其它同理).

所以当 取 时，可得符合要求的等差数列的个数为：

.…………… 8分

(Ⅲ)设等差数列首项为 ，公差为 ，

记 的整数部分是 ，则 ，即 .

的可能取值为 ，

对于给定的 ， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 个.

所以当 取 时，得符合要求的等差数列的个数

易证 .

又因为 ， ，

所以 .

所以

即 . …………… 13分

以上就是2014数学高三年级期中考试模拟试卷(理科)的全部内容，希望同学们做好练习。更多高中相关内容请点击查看【高三数学试题】