理科数学

一、选择题答题表：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

选项 A B D A D B C B C D

8.略解：∵f(x)= =3 ，令g(x)= ，则g(x)是奇函数，∴g(x)的值域为对称区间，设-m g(x) m(m>0)，则3-m f(x) 3+m.

9.略解：依题知双曲线 的右焦点也即抛物线的焦点为F(1，0)，所以抛物线的方程为 ，

设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于

直线 于A1、B1、N，设∠AFx= ，由抛物线定义知：

|MN| ，∵|MC| ，

∴|MN| |MC|，∵∠CMN= ，

∴ ，即 ，

又由抛物线定义知|AF| ，|BF| ，∴|AB| .

其它解法省略.

10.略解：由数形结合讨论知f(x)在( ，0)递减 ，在(0， )递增，且在 连续，

∴ 等价于 等价于

令 ，则 且

，∴ 在(0， )上递减，在上递增[ ，1)上递增，即 .

二、填空题：

11. ;12. ;13.120;14.11;15.②④⑤.

15.提示：有零对 时， ;有两对 时， ;

有四对 时， ;∴S有3个不同的值;

又∵ ， ，∴ ;

Smin ;∴当 ⊥ ，则Smin与 无关;Smin与 有关;

设 与 的夹角为 ;

当 时，Smin ;

当 时，Smin ，

∴ ，即 .

三、解答题：

16.解：(1)∵数列{an}满足a =a +4(n∈ )，∴数列{an}是以公差为4，以a =-20为首项的等差数列.

故数列{an}的通项公式为a = (n∈ )，

数列{an}的前n项和A = (n∈ );

(2)∵ (n∈ )，

∴数列{bn}的前n项Sn为

.

17.解：设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件A、B、C，那么事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C) .

(1)甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为：

P( )=P( )P( )P( ) .

(2)∵中奖人数 =0，1，2，3， 依题 ～ ， ，

且 ( =0，1，2，3)，

∴中奖人数 的分布列为：

0 1 2 3

P

的数学期望 .

18.解：设正方体的棱长为1，以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为 轴、 轴、 轴.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，∵E是DD1的中点，∴E(0，1， )， (-1，1， )， (-1，0，1).

(1)∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AD⊥平面ABB1A1，即 (0，1，0)为平面ABB1A1的一个法向量，直线BE和平面ABB1A1所成角 的正弦值为：

;

(2)当点F为棱的C1D1中点时，B1F∥ 平面A1BE，证明如下：

由 、 的坐标可求得平面A1BE的一个法向量为 (2，1，2)，

∵点F在棱C1D1上，设 ，则 ( ，0，0)，

∴ ( ，0，0)= ( ，1，1)，

进而 = ( ，1，1)-(0，0，1)= ( ，1，0).

∵B1F∥平面A1BE，∴ ⊥ ，即 ，∴ ，

故点F为棱的C1D1中点时，B1F∥平面A1BE得到证明.

综合法在此省略.

19.解：(1)∵f(x)= ( ).

由 ( )，

∴函数f(x)的周期为 ，递增区间为[ ， ]( );

(2)∵方程 同解于 ;

在直角坐标系中画出函数f(x)= 在[0， ]上的图象(图象省略)，由图象可知，当且仅当 ， 时，方程 在[0， ]上的区间[ ， )和( ， ]有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线 对称，即 ，∴ ;故 .

20.解：(1)连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|= ( |EF|=2)，∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长 的椭圆，即动点Q的轨迹Γ的方程为 ;

(2)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线 的方程为 ( ).∵直线 即 与圆O: 相切，∴有：

得 .

又∵点A、B的坐标( ， )、( ， )满足：

消去整理得 ，

由韦达定理得 ， .

其判别式 ，

又由求根公式有 .

∵ = =

.

.

∵ ，且 ∈[ ， ].

∴ ∈[ ， ].

21.解：(1)由f(x)= ( )，可得 ( )，

∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 ，

即 ，依题该直线与直线 重合，

∴ ，可解得 .

∵又g(x)= 可得 ，且g(x)在x=2处取得极值-2.

∴ ，可得 解得 ， .

所求f(x)=lnx(x>0)，g(x)= (x∈R);

(2)∵ ，令 (x>-1) ∵ (x>-1)，∴ 在(-1，0]递增，在[0，+∞)上递减，∵ 在区间( ， )不单调，∴ 且 .故所求实数 ∈( ，0);

(3)∵不等式 等价于

(∵ )，令 ( )，

∴ ，

又令 ( )，∵ (∵ )

由 ，故存在唯一 使 ，

即 满足当x∈( 1， ]时， ;当x∈( ，+∞)时， ;∴x∈(1， ]时， ，x∈( ，+∞)时， ;

也即 在(1， ]上递减，在( ，+∞)上递增;

∴ (∵ )，又∵ ， ，且 在(1，+∞)连续不断，∴ ， ∈(5，6).

故所求最大整数 的值为5.