三、解答题:本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

18.(本题满分12分)

设函数 .

(1)求 的值域;

(2)记△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若 ，求a的值.

18.【解析】：(1)

……………………………4分

因此 的值域为[0，2]. ………………6分

(2)由 得 ，

即 ，又因 ，故 . ………9分

解法1：由余弦定理 ，得 ，

解得 . ………12分

解法2：由正弦定理 ，得 . ………9分

当 时， ，从而 ; ………10分

当 时， ，又 ，从而 . ………11分

故a的值为1或2. ………12分

19.(本题满分12分)

已知数列 为等比数列，其前n项和为 ，且满足 ， 成等差数列.

(1)求数列 的通项公式;

(2)已知 ，记 ，求数列 前n项的和 .

19.【解析】：(1)设 的公比为q， ∵ 成等差数列，

∴ ……………………………………………………1分

∴ ， 化简得 ，

∴ ……………………………………………3分

又 ，∴ ，

…………………………………………………………6分

( 2)∵ ， ， ∴ ……………………………8分

∴ ，

2 ，

∴ ，…………………………11分

∴ ……………………12分

20.(本题满分13分)

如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， .

(1)求证 ，并指出异面直线PA与CD所成角的大小;

(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 ?如果

存在，求出此时三棱锥 与四棱锥 的体

积比;如果不存在，请说明理由.

20.【解析】：(1)∵ ， ，

∴ …………………………………………………………2分

∵四边形 为矩形， ∴ ，

又 ， ∴ ……………………………4分

故 ， ∴ …………………………………5分

PA与CD所成的角为 …………………………………………6分

(2)当点E为棱PD的中点时， ……………………6分

下面证明并求体积比：

取棱PD的中点E，连接BD与AC相交于点O，连接EO.

∵四边形 为矩形，∴O为BD的中点

又E为棱PD的中点， ∴ .

∵ ，

∴ ……………………………………………………8分

当E为棱PD的中点时， ，

又 ， ∴

即三棱锥 与四棱锥 的体积比为1:4……………13分

21.(本题满分14分)已知 ，函数 .

(Ⅰ)当 时，

(1)若 ，求函数 的单调区间;

(2)若关于 的不等式 在区间 上有解，求 的取值范围;

(Ⅱ)已知曲线 在其图象上的两点 ， ( )处的切线分别为 .若直线 与 平行，试探究点 与点 的关系，并证明你的结论.

21.【解析】：(Ⅰ)(1)因为 ，所以 ， ……………………1分

则 ，

而 恒成立，

所以函数 的单调递增区间为 . ……………………4分

(2)不等式 在区间 上有解，

即不等式 在区间 上有解，

即不等式 在区间 上有解，

等价于 不小于 在区间 上的最小值. ……………6分

因为 时， ，

所以 的取值范围是 .……………………9分

Ⅱ.因为 的对称中心为 ，

而 可以由 经平移得到，

所以 的对称中心为 ,故合情猜测，若直线 与 平行，

则点 与点 关于 点 对称. ……………………10分

对猜想证明如下：

因为 ，

所以 ，

所以 ， 的斜率分别为 ， .

又直线 与 平行，所以 ，即 ，

因为 ，所以， ， ……………………12分

从而 ，

所以 .

又由上 ，

所以点 ， ( )关于点 对称.

故当直线 与 平行时，点 与 点 关于点 对称.……………………14分

22.(本题满分14分)

已知椭圆 的离心率 ，且直线 是抛物线 的一条切线.

(1)求椭圆的方程;

(2)点P 为椭圆上一点，直线 ，判断l与椭圆的位置关系并给出理由;

(3)过椭圆上一点P作椭圆的切线交直线 于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.

22.【解析】：(1)因为直线 是抛物线 的一条切线，

所以 ，

即 ……………………2分

又 ，所以 ，

所以椭圆的方程是 . …………………………………………4分(2)由 得

由①2+② 得

∴直线l与椭圆相切…………………………………………9分

(3)首先取两种特殊情形：切点分别在短轴两端点时，

求得两圆的方程为

，

两圆相交于点( ，0)，( ，0)，

若定点为椭圆的右焦点( .

则需证： .

设点 ，则椭圆过点P的切线方程是 ，

所以点

，

所以 .……………………………………………………11分

若定点为 ，

则 ，不满足题意.

综上，以线段AP为直径的圆恒过定点( ，0).………………14分

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