三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15.(本小题满分12分)

已知函数

(I)求函数 的最小正周期;

(II)确定函数 在 上的单调性并求在此区间上 的最小值.

15解 ，…………3分

则 的最小正周期是 ;……………4分

16.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=Asinπ3x+φ，x∈R，A>0，0<φ<π2，y=f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A).

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;

(2)若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ=2π3，求A的值.

解析：(1)由题意得T=2ππ3=6………………………….2分

因为P(1，A)在y=Asinπ3x+φ的图象上，所以sinπ3+φ=1.

又因为0<φ<π2，所以φ=π6…………………………6分

(2)设点Q的坐标为(x0，-A).

由题意可知π3x0+π6=3π2，得x0=4，所以Q(4，-A).-----------------------8分

连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ=2π3，由余弦定理得

cos ∠PRQ=RP2+RQ2-PQ22RP•RQ=A2+9+A2-(9+4A2)2A•9+A2=-12，解得A2=3.

又A>0，所以A=3.--------------------------------12分

17. (本小题满分14分)

已知等比数列 中， ， ， .

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)设 ，求 的最大值及相应的 值.

1.解：(Ⅰ) ， ，所以： . …(3分)

以 为首项.　　 ……………(5分)

所以 通项公式为： .　 ……(7分)

(Ⅱ)设 ，则 .　 　　…………………(8分)

所以 是首项为6，公差为 的等差数列.　　 ………………(10分)

= .　…………(12分)

因为 是自然数，所以 或 时， 最大，其最值是 21. ……(14分)

18. (本小题满分14分)

设二次函数 满足条件：(1) ;(2)函数在

轴上的截距为1，且 .

(1)求 的解析式;

(2)若 的最小值为 ,请写出 的表达式;

(3)若不等式 在 时恒成立,求实数 的取值范围.

解: (1) …………………………4分

(2) ----------------10分

(3) -----------------14分

19.(本题满分14分)

已知函数 的图象如图，直线 在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.

(1) 求

(2)若常数 ，求函数 在区间 上的最大值.

解析：由f(0)=0得c=0，………………….2分

f′(x)=3x2+2ax+b.

由f′(0)=0得b=0，………………………4分

∴f(x)=x3+ax2=x2(x+a)，

由∫-a0[-f(x)]dx=274得a=-3.

∴f(x)=x3-3x2………………………………8分

(2)由(1)知 .

的取值变化情况如下：

2

单调

递增极大值

单调

递减极小值

单调

递增

又 ,

①当 时, ;……………11分

②当 时,

综上可知 …………………………………14分

20.(本小题满分14分)

已知函数 ， .

(Ⅰ)若 ，求函数 在区间 上的最值;

(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范围.

注： 是自然对数的底数

. 解：(Ⅰ) 若 ，则 .

当 时， ，

，

所以函数 在 上单调递增;

当 时， ，

.

所以函数 在区间 上单调递减，

所以 在区间 上有最小值 ，又因为 ，

，而 ，

所以 在区间 上有最大值 ………………………………….5分

(Ⅱ) 函数 的定义域为 .

由 ，得 . (*)

(?)当 时， ， ，

不等式(*)恒成立，所以 ;……………………………………….7分

(?)当 时，

①当 时，由 得 ，即 ，

现令 ， 则 ，

因为 ，所以 ，故 在 上单调递增，

从而 的最小值为 ，因为 恒成立等价于 ，

所以 ;………………………………………………….11

②当 时， 的最小值为 ，而 ，显然不满足题意……….13分

综上可得，满足条件的 的取值范围是 . …………………………………14分

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