答　案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.在△ABC中，若sin Aa=cos Bb，则B=________.

14.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为________.

15.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时.

16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b-c)cos A=acos C，则cos A=________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD=a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.

18.(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsin A.

(1)求B的大小.

(2)若a=33，c=5，求b.

19.(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧.

(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数;

(2)求四边形OPDC面积的最大值.

20.(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.

21.(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2，C=π3.

(1)若△ABC的面积等于3，求a，b.

(2)若sin B=2sin A，求△ABC的面积.

22.(12分) 如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.

第一章　解三角形  章末检测 答案 (B)

1.B　[∵a>b>c，∴C最小.

∵cos C=a2+b2-c22ab=22+32-122×2×3=32，

又∵0

2.B　[∵p∥q，∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0.

∴c2=a2+b2-ab，∵c2=a2+b2-2abcos C，

∴cos C=12，又∵0

∴| |•|AC→|•sin A

=12×4×1×sin A=3.

∴sin A=32.又∵0°

∴A=60°或120°.

•AC→=|AB→|•|AC→|cos A

=4×1×cos A=±2.]

4.D　[由正弦定理得bsin B=csin C，

∴sin C=c•sin Bb=2sin 120°6=12，

∵c

∴C=30°，∴A=180°-120°-30°=30°.

∴a=c=2.]

5.D　[由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos A，

即72=52+AC2-10AC•cos 120°，

∴AC=3.由正弦定理得sin Bsin C=ACAB=35.]

6.D　[由题意，x应满足条件22+42-x2>022+x2-42>0

解得：23

7.D　[由正弦定理得15sin 60°=10sin B.

∴sin B=10•sin 60°15=33.

∵a>b，A=60°，∴B<60°.

∴cos B=1-sin2B=1-332=63.]

8.B　[A：a=bsin A，有一解;

B：A>90°，a>b，有一解;

C：a

D：c>b>csin B，有两解.]

9.D　[由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos B，

∴12=(3)2+BC2-2×3×BC×32.

整理得：BC2-3BC+2=0.

∴BC=1或2.

当BC=1时，S△ABC=12AB•BCsin B=12×3×1×12=34.

当BC=2时，S△ABC=12AB•BCsin B=12×3×2×12=32.]

10.C　[由S△ABC=12BC•BAsin B=32得BA=1，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos B，

∴AC=3，∴△ABC为直角三角形，

其中A为直角，

∴tan C=ABAC=33.]

11.C　[由已知，得cos(A-B)+sin(A+B)=2，

又|cos(A-B)|≤1，|sin(A+B)|≤1，

故cos(A-B)=1且sin(A+B)=1，

即A=B且A+B=90°，故选C.]

12.B　[由a4+b4+c4=2c2a2+2b2c2，

得cos2C=a2+b2-c222ab2

=a4+b4+c4+2a2b2-2c2a2-2b2c24a2b2=12

⇒cos C=±22.∴角C为45°或135°.]

13.45°

解析　由正弦定理，sin Aa=sin Bb.

∴sin Bb=cos Bb.∴sin B=cos B.

∴B=45°.

14.103

解析　设AC=x，则由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos A，

∴49=25+x2-5x，∴x2-5x-24=0.

∴x=8或x=-3(舍去).

∴S△ABC=12×5×8×sin 60°=103.

15.86

解析　如图所示，

在△PMN中，PMsin 45°=MNsin 120°，

∴MN=64×32=326，

∴v=MN4=86(海里/小时).

16.33

解析　由(3b-c)cos A=acos C，得(3b-c)•b2+c2-a22bc=a•a2+b2-c22ab，

即b2+c2-a22bc=33，

由余弦定理得cos A=33.

17.解　在△ACD中，∠DAC=α-β，

由正弦定理，得ACsin β=DCsinα-β，

∴AC=asin βsinα-β

∴AB=AE+EB=ACsin α+h=asin βsin αsinα-β+h.

18.解　(1)∵a=2bsin A，∴sin A=2sin B•sin A，

∴sin B=12.∵0

(2)∵a=33，c=5，B=30°.

由余弦定理b2=a2+c2-2accos B

=(33)2+52-2×33×5×cos 30°=7.

∴b=7.

19.解　(1)在△POC中，由余弦定理，

得PC2=OP2+OC2-2OP•OC•cos θ

=5-4cos θ，

所以y=S△OPC+S△PCD

=12×1×2sin θ+34×(5-4cos θ)

=2sinθ-π3+534.

(2)当θ-π3=π2，即θ=5π6时，ymax=2+534.

答　四边形OPDC面积的最大值为2+534.

20.解　　①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1;B点到M、N点的俯角α2、β2;A、B的距离d(如图所示).

②第一步：计算AM，由正弦定理AM=dsin α2sinα1+α2;

第二步：计算AN.由正弦定理AN=dsin β2sinβ2-β1;

第三步：计算MN，由余弦定理

MN=AM2+AN2-2AM×ANcosα1-β1.

21.解　(1)由余弦定理及已知条件得

a2+b2-ab=4.

又因为△ABC的面积等于3，

所以12absin C=3，由此得ab=4.

联立方程组a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知条件得b=2a.

联立方程组a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面积S=12absin C=233.

22.解　∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=60°-θ，

∠OCP=120°.

在△POC中，由正弦定理得OPsin∠PCO=CPsin θ，

∴2sin 120°=CPsin θ，∴CP=43sin θ.

又OCsin60°-θ=2sin 120°，∴OC=43sin(60°-θ).

因此△POC的面积为

S(θ)=12CP•OCsin 120°

=12•43sin θ•43sin(60°-θ)×32

=43sin θsin(60°-θ)

=43sin θ32cos θ-12sin θ

=2sin θ•cos θ-23sin2θ

=sin 2θ+33cos 2θ-33

=233sin2θ+π6-33

∴θ=π6时，S(θ)取得最大值为33.

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