二、填空题

7.函数y=x+1x+1(x≥0)的最小值为________.

答案：1

8.若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.

解析：1=x+4y≥2x•4y=4xy，∴xy≤116.

答案：大　116

9.(2010年高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.

解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.

当且仅当x3=y4时取等号.

答案：3

三、解答题

10.(1)设x>-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;

(2)求函数y=x2+8x-1(x>1)的最值.

解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.

∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

≥2 x+1•4x+1+5=9，

当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.

∴x=1时，函数的最小值是9.

(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.

∴(x-1)+9x-1+2≥2x-1•9x-1+2=8.

当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，

∴y有最小值8.

11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)•(1b-1)•(1c-1)≥8.

证明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，

∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，

同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.

当且仅当a=b=c时取等号.

12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.

总造价f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200

=800×(x+225x)+12000

≥1600x•225x+12000

=36000(元)

当且仅当x=225x(x>0)，

即x=15时等号成立.

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