三、解答题

11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

证明　因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，

所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.

解　设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA

⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA

⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

⇔sinAcosA=sinBcosB

⇔sin2A=sin2B

⇔2A=2B或2A+2B=π

⇔A=B或A+B=π2.

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

能力提升

13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为(3+1)∶2，则最大角为(　　)

A.45°B.60°C.75°D.90°

答案　C

解析　设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，

∴sinCsinA=sin120°-AsinA

=sin120°cosA-cos120°sinAsinA

=32tanA+12=3+12=32+12，

∴tanA=1，A=45°，C=75°.

14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4，

cosB2=255，求△ABC的面积S.

解　cosB=2cos2B2-1=35，

故B为锐角，sinB=45.

所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.

由正弦定理得c=asinCsinA=107，

所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.

1.在△ABC中，有以下结论：

(1)A+B+C=π;

(2)sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C;

(3)A+B2+C2=π2;

(4)sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.

2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.

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